diff --git a/2KaffeeProblem.pdf b/2KaffeeProblem.pdf index f3f5f6d..75e803d 100644 Binary files a/2KaffeeProblem.pdf and b/2KaffeeProblem.pdf differ diff --git a/2KaffeeProblem.svg b/2KaffeeProblem.svg index e81db8e..18cf4d8 100644 --- a/2KaffeeProblem.svg +++ b/2KaffeeProblem.svg @@ -9,14 +9,28 @@ xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" - width="289.55466" - height="43.554962" + width="311.17181" + height="37.215111" id="svg2" version="1.1" - inkscape:version="0.48.4 r9939" + inkscape:version="0.48.2 r9819" sodipodi:docname="2KaffeeProblem.svg"> + + + @@ -70,9 +84,9 @@ inkscape:label="Ebene 1" inkscape:groupmode="layer" id="layer1" - transform="translate(-174.21033,-318.5303)"> + transform="translate(-162.5609,-325.97991)"> @@ -119,14 +133,15 @@ 0 + x="303.84589" + y="361.88702" + style="font-family:Latin Modern Roman;-inkscape-font-specification:Latin Modern Roman">0 + transform="matrix(1.0625,0,0,1.0625,335.41223,239.7674)" /> Δ1 p1 p2 diff --git a/3KaffeeKartesisch.pdf b/3KaffeeKartesisch.pdf index 818a9c2..fc2f12e 100644 Binary files a/3KaffeeKartesisch.pdf and b/3KaffeeKartesisch.pdf differ diff --git a/3KaffeeKartesisch.svg b/3KaffeeKartesisch.svg index 06fd565..9635956 100644 --- a/3KaffeeKartesisch.svg +++ b/3KaffeeKartesisch.svg @@ -9,14 +9,28 @@ xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" - width="359.39703" - height="355.06555" + width="358.80469" + height="349.37961" id="svg2" version="1.1" - inkscape:version="0.48.4 r9939" + inkscape:version="0.48.2 r9819" sodipodi:docname="3KaffeeKartesisch.svg"> + + + + fit-margin-top="1" + fit-margin-left="1" + fit-margin-right="1" + fit-margin-bottom="1" + inkscape:window-width="1280" + inkscape:window-height="752" + inkscape:window-x="0" + inkscape:window-y="0" + inkscape:window-maximized="1" + showguides="true" + inkscape:guide-bbox="true"> + + + @@ -112,174 +137,249 @@ inkscape:label="Ebene 1" inkscape:groupmode="layer" id="layer1" - transform="translate(-217.5625,-257.87195)"> - - - - - - - - - - - - - - - - - - + transform="translate(-216.06086,-265.054)"> Δ1 Δ2 - (0,0) - (1,0) - (0,1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + transform="translate(122.69985,325.60738)" /> + (0,0) + (1,0) + (0,1) diff --git a/3KaffeeProblem.pdf b/3KaffeeProblem.pdf index e648246..229dd2b 100644 Binary files a/3KaffeeProblem.pdf and b/3KaffeeProblem.pdf differ diff --git a/3KaffeeProblem.svg b/3KaffeeProblem.svg index e9be263..d82ccca 100644 --- a/3KaffeeProblem.svg +++ b/3KaffeeProblem.svg @@ -9,11 +9,11 @@ xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" - width="483.56375" - height="419.76956" + width="482.96976" + height="421.09515" id="svg2" version="1.1" - inkscape:version="0.48.4 r9939" + inkscape:version="0.48.2 r9819" sodipodi:docname="3KaffeeProblem.svg"> @@ -194,20 +194,20 @@ inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" inkscape:zoom="1.4" - inkscape:cx="222.54845" - inkscape:cy="231.38319" + inkscape:cx="239.76274" + inkscape:cy="232.88318" inkscape:document-units="px" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="false" - inkscape:window-width="1920" - inkscape:window-height="1176" + inkscape:window-width="1280" + inkscape:window-height="752" inkscape:window-x="0" - inkscape:window-y="24" + inkscape:window-y="0" inkscape:window-maximized="1" - fit-margin-top="0" - fit-margin-left="0" - fit-margin-right="0" - fit-margin-bottom="0" /> + fit-margin-top="1" + fit-margin-left="1" + fit-margin-right="1" + fit-margin-bottom="1" /> @@ -216,7 +216,7 @@ image/svg+xml - + @@ -224,7 +224,7 @@ inkscape:label="Ebene 1" inkscape:groupmode="layer" id="layer1" - transform="translate(-125.31516,-257.02109)"> + transform="translate(-123.81516,-257.19548)"> @@ -371,10 +371,10 @@ id="tspan4679-4" x="532.46912" y="579.09894" - style="font-size:28px">p1 (0,0) + style="font-size:10px;font-family:Latin Modern Roman;-inkscape-font-specification:Latin Modern Roman">(0,0) (1,0) + style="font-size:10px;font-family:Latin Modern Roman;-inkscape-font-specification:Latin Modern Roman">(1,0) (0,1) + style="font-size:10px;font-family:Latin Modern Roman;-inkscape-font-specification:Latin Modern Roman">(0,1) p3 p2 Δ1 Δ2 + Δ3 diff --git a/main.pdf b/main.pdf index c547c9f..e692802 100644 Binary files a/main.pdf and b/main.pdf differ diff --git a/main.tex b/main.tex index 13062bc..42f8f5e 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -114,7 +114,7 @@ Bla. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem -\section{Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem} +\section{Erster Hauptteil} \label{sec:kaffeeproblem} Um das Kaffee-Problem betrachten zu können, @@ -336,7 +336,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. & = & 0. \end{array} \] - Und die bilanzierende Kaffeekasse + Die bilanzierende Kaffeekasse ergibt sich also als \( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \). \end{proof} @@ -378,7 +378,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Visualisierung des Kaffeeproblems -\section{Visualisierung des Kaffeeproblems} +\section{Zweiter Hauptteil} \label{sec:visualisierung} Im folgenden stellen wir Möglichkeiten vor, das Kaffeeproblem für Gruppen aus 2 oder 3 Personen @@ -390,7 +390,7 @@ Wie bereits in \autoref{beis:2-kaffee-problem} angesprochen, wird nur eine einzelne Komponente der Kaffeekasse benötigt. Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar. -\begin{figure}[htbp] +\begin{figure}[tb] \centering \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem} \caption{% @@ -413,71 +413,79 @@ Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein kartesisches Koordinatensystem verwendet werden, in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) -als Koordinaten eingetragen werden. +als Koordinaten eingetragen werden +(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}). +Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\) +kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden, +deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt. -\begin{figure}[htbp] +\begin{figure}[tb] \centering - \includegraphics[scale=.6]{3KaffeeKartesisch} + \includegraphics[scale=.8]{3KaffeeKartesisch} \caption{% Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit kartesischen Koordianten. + Die Darstellung entspricht der Kaffeekasse \(k = (2,-1,-1) \). } \label{fig:3-kaffee-kartesisch} \end{figure} -In \autoref{fig:3-kaffee-kartesisch} ist eine -kartesische Darstellung für die Kaffeekasse -\(k = (2,-1,-1) \) gegeben. -Die Aktualisierung der Kaffeekasse, -und das Ablesen der Lösung des 3-Kaffee-Problems, -ist hier allerdings relativ kompliziert. -Gibt zum Beispiel \(p_1\) nun \(p_2\) einen Kaffee -aus, so muss zunächst im Kopf die -neue Kaffeekasse gebildet werden, -und anschliessend die neuen Werte -für \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) -eingetragen werden. -Zusätzlich ist der Wert von \(\Delta_3\) -nur indirekt zu erkennen. -Dieser ergibt sich aus dem negativen Achensabschnittes -der fallenden Diagonalen, auf der der Punkt -zur Zeit liegt. +Die Aktualisierung der Darstellung muss erfolgen, +indem der Punkt den Änderungen in \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) entsprechend +verschoben wird. +Man kommt hier zuweilen nicht drum herum, +nachzudenken. -\begin{figure}[htbp] +Um dieses schwerwiegende Manko zu beheben +bietet sich eine Visualisierung +in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an, +wie in \autoref{fig:3-kaffee-schief} dargestellt. +Die Achsen schneiden sich hier in einem Winkel von \(60\degree\). +Die Darstellung unterscheidet sich prinzipiell +nicht sonderlich von der Darstellung im orthogonalen Koordinatensystem. +Allerdings ist das Verschieben der Markierung simpler: +um einen ausgegebenen Kaffee einzutragen +muss die Markierung "`mit dem Kaffee"' +von der ausgebenden Person weg +hin zur empfangenen Person verschoben werden. + +\begin{figure}[tb] \centering - \includegraphics[scale=.6]{3KaffeeProblem} + \includegraphics[scale=.8]{3KaffeeProblem} \caption{% - Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit schiefen Koordianten + Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit schiefen Koordinaten. + Die Darstellung entspricht der Kaffeekasse \(k = (2,-1,-1) \). } \label{fig:3-kaffee-schief} \end{figure} -Als alternative Darstellung kann ein -geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem -gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief} -schneiden sich die Achsen -mit einem Winkel von 60\degree. -Bei dieser Art des Koordinatensystems -können die selben Koordinaten verwendet werden, -die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden. -Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten -plaziert werden, um eine einfacher Transition -zu ermöglichen. -Nun kann hier auch die Markierung wieder -``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg -und auf die empfangende Person zu, verschoben werden. - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Zusammenfassung -\section{Zusammenfassung} +\section{Schluss} \label{sec:zusammenfassung} -Zusammenfassung des Papers. -Mögliche Future Work: -\begin{itemize} - \item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren - \item Wir haben noch keinen Beweis dafür, dass die Visualisierung in einem Dreieck unmöglich oder zumindest blöd ist. -\end{itemize} +In dieser durch die Einleitung eingeleiteten, +durch beiden Hauptteile angereicherten +und im Schluss abgeschlossenen Arbeit +haben wir das n-Kaffee-Problem eingeführt, +Probleme an den Haaren herbeigezogen +und schließlich Visualisierungen entwickelt.\footnote{% +Visualisierungen, die sich übrigens prima an Whiteboards machen.} +Mit Hilfe des Kaffeesatzes konnten wir Kaffeekassen +auf kleinere Kaffeekassen reduzieren +und so auch komplexere Konstellationen visualisieren. +Wir haben bilanzierende und explizite Kaffeekassen +voneinander abgegrenzt +und das Kaffee-Paradoxon nicht nur entdeckt, +sondern auch aufgeklärt. +Offen bleibt, +ob man einfache Visualisierungen auch für \(n\)-Kaffeekränzchen +mit \(n > 3\) entwickeln kann. +Des Weiteren hatten wir keine Lust mehr, +weiter nach noch einfacheren Visualisierungen +für \(n < 4\) zu finden. +Wir überlassen es dem geneigten wissenschaftlichen Nachwuchs, +darüber Köpfe zu zerbrechen. \end{document}