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@@ -25,6 +25,8 @@
 \newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
 \newtheorem{satz}{Satz}
 \newcommand{\satzautorefname}{Satz}
+\newtheorem{beob}{Beobachtung}
+\newcommand{\beobautorefname}{Beobachtung}
 \newtheorem*{beis}{Beispiel}
 
 
@@ -249,13 +251,18 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
 Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
 modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
 Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
-Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
+Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden, 
 in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
 
 \begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
+  \label{def:explizitekaffeekasse} 
   Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
-  Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Menge
-  \[ k = \{ \delta_{ij} \in \integers | i,j \in \naturals_{\leq n} , i < j \} \]
+  Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix
+  \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt:
+  \begin{enumerate}
+    \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
+    \item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
+  \end{enumerate}
   Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{ij}$ wie folgt:
   \begin{align*}
     \delta_{ij} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
@@ -264,9 +271,73 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
   \end{align*}
 \end{defi}
 
+Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir die Transistion
+analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
 
+\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
+  \label{def:explizitekaffeekassentransition}
+  Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
+  \(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
+  \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
+  sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
+  dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
+  Die explizite Kaffeekassentransition liefert zu \(\kappa\)
+  eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
+  \[ \delta_{k,l}' = \left\{
+    \begin{array}{ll}
+      \delta_{k,l} - 1 & \text{, falls } k=i \text{ und } l=j \\
+      \delta_{k,l} + 1 & \text{, falls } k=j \text{ und } l=i \\
+      \delta_{k,l}     & \text{, sonst}
+    \end{array} \right.
+  \]
+  für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\).
+\end{defi}
+
+\begin{satz}
+  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen 
+  und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende,
+  bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen 
+  und \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
+  Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
+  für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun 
+  \[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
+  Dann ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als 
+  \( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \).
+\end{proof}
+
+\begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
+  \label{beob:kaffeparadoxon}
+  Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \) 
+  und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\). Bisher hat \(p_2\) 
+  jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
+  Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
+  Somit ergibt sich 
+  \[\kappa = \left(
+    \begin{array}{rrr}
+       0 &  1 &  1 \\
+      -1 &  0 & -1 \\
+      -1 &  1 &  0
+    \end{array} \right).
+  \]
+  Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist,
+  werden stets zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
+  ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden,
+  damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist.
+
+  Bilden wir zu \(\kappa\) nun die bilanzierende Kaffeekasse \(k\),
+  so ergibt sich \(k = (2,-2,0) \).
+  Hierbei ist zu erkennen, das nur 2 Kaffees benötigt werden, um die Kaffeeschulden
+  auszugleichen.
+
+  Dieses Phänomen, welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, lässt sich
+  in dem Auftreten von \emph{transitiven Kaffeeschulden} begründen.
+  Die bilanzierende Kaffeekasse vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
+  während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
+\end{beob}
 
-Hierdurch werden sogenannte \emph{transitive Kaffeeschulden} vermieden.
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %% Visualisierung des Kaffeeproblems