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@@ -18,6 +18,9 @@
 \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
 
 \newtheorem{defi}{Definition}
+\newtheorem{koro}{Korollar}
+\newtheorem{lemma}{Lemma}
+\newtheorem{satz}{Satz}
 \newtheorem*{beis}{Beispiel}
 
 
@@ -155,6 +158,34 @@ das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
   oder umgekehrt.
 \end{defi}
 
+Betrachtet man die Anforderung an die Kaffeekasse,
+dass die Summe über die Kaffee-Deltas \(0\) sein soll,
+fällt eine Vereinfachungsmöglichkeit auf.
+
+\begin{satz}
+  Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
+  genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Ist noch zu formulieren.
+\end{proof}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%% Bilanzierende Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon
+\subsection{Bilanzierende Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
+\label{sub:kaffeeparadoxon}
+
+\todo[inline]{Die Unterscheidung zwischen bilanzierenden und expliziten Kaffeekassen einführen.
+Das Kaffeeparadoxon beschreiben und auflösen.}
+
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%% Visualisierung des Kaffeeproblems
+\section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
+\label{sec:visualisierung}
+
 \begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
   Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
   \begin{description}
@@ -182,23 +213,6 @@ das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
   Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
 \end{defi}
 
-\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
-\todo{Text ergänzen}
-	\begin{figure}[hbtp]
-    \centering
-    \includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
-    \caption{}
-  \end{figure}
-\end{beis}
-
-
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-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%% Visualisierung des Kaffeeproblems
-\section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
-\label{sec:visualisierung}
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-