diff --git a/main.pdf b/main.pdf index 7826a40..0c56461 100644 Binary files a/main.pdf and b/main.pdf differ diff --git a/main.tex b/main.tex index 546a290..b9741f1 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -18,9 +18,13 @@ \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}} \newtheorem{defi}{Definition} +\newcommand{\defiautorefname}{Definition} \newtheorem{koro}{Korollar} +\newcommand{\koroautorefname}{Korollar} \newtheorem{lemma}{Lemma} +\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma} \newtheorem{satz}{Satz} +\newcommand{\satzautorefname}{Satz} \newtheorem*{beis}{Beispiel} @@ -107,13 +111,16 @@ Bla. Um das Kaffee-Problem betrachten zu können, müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren, -welche das Problem überhaupt tangiert. +die das Problem überhaupt interessiert. \begin{defi}[Kaffeekränzchen] + \label{def:kaffeekraenzchen} Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\) für \(n\in\naturals_{\geq 2}\) bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen} - oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}. + oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.\footnote{% + Man könnte in der Definition des Kaffeekränzchens sicherlich auch \(n=1\) zulassen, + aber das ist uns zu traurig.} \end{defi} Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich, @@ -126,10 +133,11 @@ Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit, die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren. \begin{defi}[Kaffeekasse] + \label{def:kaffeekasse} Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen. Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\), - \(k= (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\), + \(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\), für das gilt: \[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \] Für \(1 \leq i \leq n\) @@ -139,14 +147,41 @@ die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren. Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich: \begin{align*} - \Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\ - \Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees} + \Delta_i < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\ + \Delta_i > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees} \end{align*} -Wir können nun -das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren. +Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus, +müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln. + +\begin{defi}[Kaffeekassentransition] + \label{def:kaffeekassentransition} + Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\), + \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen, + \(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse + sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so, + dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt. + Die Kaffeekassentransition liefert zu \(k\) + eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit + \[ \Delta_x' = \left\{ + \begin{array}{ll} + \Delta_x - 1 & \text{, falls } x=i \\ + \Delta_x + 1 & \text{, falls } x=j \\ + \Delta_x & \text{, sonst} + \end{array} \right. + \] + für \(x \in {[n]}\). +\end{defi} + +Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los, +um sich gegenseitig Kaffess auszugeben, +ist immer wieder die Frage zu klären, +wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist. +Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem +formalisiert exakt diese Fragestellung. \begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem] + \label{def:kaffee_problem} Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und \(k\) eine Kaffeekasse über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\). @@ -158,16 +193,46 @@ das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren. oder umgekehrt. \end{defi} -Betrachtet man die Anforderung an die Kaffeekasse, -dass die Summe über die Kaffee-Deltas \(0\) sein soll, -fällt eine Vereinfachungsmöglichkeit auf. +Betrachten wir das Beispiel \(n=2\). -\begin{satz} +\begin{beis}[2-Kaffee-Problem] + Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, + lässt sich das \(2\)-Kaffee-Problem + mit Hilfe einer Zahl \( x \in \integers \) beschreiben. Hierbei gilt: + \begin{align*} + x=0 &: \enspace \text{Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\ + x > 0 &: \enspace p_0 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } x \text{ Kaffees.} \\ + x < 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_0 \text{ noch } |x| \text{ Kaffees.} + \end{align*} + Die Zahl \(x\) kann aufgefasst werden + als \(\Delta_1\) in der Kaffeekasse. + \(\Delta_2\) wird nicht benötigt. +\end{beis} + +Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit +funktioniert nicht nur für \(n=2\), +sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\). +Das ist die Aussage des folgenden Satzes. + +\begin{satz}[Kaffeesatz] + \label{satz:kaffeesatz} + Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) + und \(k\) eine Kaffeekasse + über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\). Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse. \end{satz} \begin{proof} - Ist noch zu formulieren. + Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt: + \[ + \begin{array}{lll} + & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} + \Delta_n &= 0 \\ + \Leftrightarrow & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} &= {-\Delta_n} + \end{array} + \] + Das Kaffeedelta \(\Delta_n\) + lässt sich also aus den übrigen Kaffeedeltas direkt berechnen + und braucht daher nicht explizit in der Kaffeekasse geführt zu werden. \end{proof} @@ -186,32 +251,17 @@ Das Kaffeeparadoxon beschreiben und auflösen.} \section{Visualisierung des Kaffeeproblems} \label{sec:visualisierung} -\begin{beis}[2-Kaffee-Problem] - Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt: - \begin{description} - \item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden. - \item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees. - \item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees. - \end{description} +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem} + \caption{% + Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems. + In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\) + genau \(2\) Kaffees. + } + \label{fig:2_kaffee_problem} +\end{figure} - \begin{figure}[hbtp] - \centering - \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem} - \caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee} - \end{figure} -\end{beis} - -\begin{defi}[n-Kaffee-Problem] -\todo{Formel korrigieren} - Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch - \[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) = - \left\{ \begin{array}{cc} - (x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\ - (x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n - \end{array} \right. - \] - Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}. -\end{defi} @@ -226,6 +276,7 @@ Zusammenfassung des Papers. Mögliche Future Work: \begin{itemize} \item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren + \item Wir haben noch keinen Beweis dafür, dass die Visualisierung in einem Dreieck unmöglich oder zumindest blöd ist. \end{itemize}