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@@ -1,6 +1,7 @@
 \documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[german]{babel}
+\usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts}
 \usepackage{amssymb}
@@ -14,6 +15,7 @@
 %% Tolle Definitionen
 
 \newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
 
 \newtheorem{defi}{Definition}
 \newtheorem*{beis}{Beispiel}
@@ -117,48 +119,69 @@ Wichtig ist lediglich,
 dass die beteiligten Personen
 sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
 
+Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch
+eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb
+der Gruppe zu dokumentieren.
 
+\begin{defi}[Kaffeekasse]
+  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und 
+  \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
+  Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch
+  \[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
+  Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei
+  als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und
+  getrunkenen Kaffees.
+\end{defi}
 
+Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich
+\begin{align*}
+  \Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
+  \Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
+\end{align*}
 
-  
+Mit diesen Definitionen können wir nun das 
+allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
 
+\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
+  foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren}
+\end{defi}
 
-  \begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
-    Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
-    \begin{description}
-      \item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
-      \item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
-      \item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
-    \end{description}
+\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
+  Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
+  \begin{description}
+    \item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
+    \item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
+    \item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
+  \end{description}
 
-  	\begin{figure}[hbtp]
-      \centering
-      \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
-      \caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
-    \end{figure}
-  \end{beis}
+	\begin{figure}[hbtp]
+    \centering
+    \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
+    \caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
+  \end{figure}
+\end{beis}
 
-  \begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
-	\todo{Formel korrigieren}
-    Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
-    \[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) = 
-      \left\{ \begin{array}{cc}
-        (x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\ 
-        (x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
-      \end{array} \right.
-    \]
-    Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
-  \end{defi}
+\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
+\todo{Formel korrigieren}
+  Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
+  \[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) = 
+    \left\{ \begin{array}{cc}
+      (x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\ 
+      (x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
+    \end{array} \right.
+  \]
+  Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
+\end{defi}
+
+\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
+\todo{Text ergänzen}
+	\begin{figure}[hbtp]
+    \centering
+    \includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
+    \caption{}
+  \end{figure}
+\end{beis}
 
-  \begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
-  \todo{Text ergänzen}
-  	\begin{figure}[hbtp]
-      \centering
-      \includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
-      \caption{}
-    \end{figure}
-  \end{beis}
-  
 
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%