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@@ -267,7 +267,7 @@ Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
 von wem sie noch Kaffees bekommt
 oder wem sie Kaffees schuldet.
 Die Kaffeekasse ist also eine \emph{bilanzierende Kaffeekasse}.
-Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden, 
+Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden,
 in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
 
 \begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
@@ -315,7 +315,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
 \end{defi}
 
 \begin{satz}[Bilanzierender Kaffeekassenexplikationssatz]
-  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen 
+  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen
   und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
   Dann existiert eine entsprechende
   bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
@@ -326,20 +326,29 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
   Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
   für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun
   \[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
-  Dann gilt
-  \[ \sum_ \]
-   ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als
-  \( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \)
+  Trivialerweise gilt
+  \[
+    \begin{array}{lll}
+      \sum\limits_{i=1}^n \Delta_i & = & \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
+        & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
+        & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
+        & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l}  - \delta_{i,l}) \\
+        & = & 0.
+    \end{array}
+  \]
+   Und die bilanzierende Kaffeekasse
+   ergibt sich also als
+  \( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \).
 \end{proof}
 
 \begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
   \label{beob:kaffeparadoxon}
-  Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \) 
+  Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \)
   und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
-  Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher 
+  Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher
   jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
   Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
-  Somit ergibt sich 
+  Somit ergibt sich
   \[\kappa = \left(
     \begin{array}{rrr}
        0 &  1 &  1 \\
@@ -443,14 +452,14 @@ Als alternative Darstellung kann ein
 geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem
 gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief}
 schneiden sich die Achsen
-mit einem Winkel von 60\degree. 
+mit einem Winkel von 60\degree.
 Bei dieser Art des Koordinatensystems
 können die selben Koordinaten verwendet werden,
 die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden.
 Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten
-plaziert werden, um eine einfacher Transition 
+plaziert werden, um eine einfacher Transition
 zu ermöglichen.
-Nun kann hier auch die Markierung wieder 
+Nun kann hier auch die Markierung wieder
 ``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg
 und auf die empfangende Person zu, verschoben werden.