diff --git a/3KaffeeKartesisch.pdf b/3KaffeeKartesisch.pdf index fc2f12e..3efce0c 100644 Binary files a/3KaffeeKartesisch.pdf and b/3KaffeeKartesisch.pdf differ diff --git a/3KaffeeKartesisch.svg b/3KaffeeKartesisch.svg index 9635956..2da0300 100644 --- a/3KaffeeKartesisch.svg +++ b/3KaffeeKartesisch.svg @@ -9,7 +9,7 @@ xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" - width="358.80469" + width="361.48285" height="349.37961" id="svg2" version="1.1" @@ -96,8 +96,8 @@ inkscape:pageopacity="0.0" inkscape:pageshadow="2" inkscape:zoom="1.4" - inkscape:cx="196.25711" - inkscape:cy="171.19216" + inkscape:cx="95.14209" + inkscape:cy="149.55333" inkscape:document-units="px" inkscape:current-layer="layer1" showgrid="false" @@ -111,14 +111,15 @@ inkscape:window-y="0" inkscape:window-maximized="1" showguides="true" - inkscape:guide-bbox="true"> + inkscape:guide-bbox="true" + inkscape:snap-global="false"> + transform="translate(-213.38271,-265.054)"> (0,1) + 0 + -1 + -2 + 1 + 2 diff --git a/3KaffeeProblem.pdf b/3KaffeeProblem.pdf index 229dd2b..49edfcc 100644 Binary files a/3KaffeeProblem.pdf and b/3KaffeeProblem.pdf differ diff --git a/3KaffeeProblem.svg b/3KaffeeProblem.svg index d82ccca..3926f0e 100644 --- a/3KaffeeProblem.svg +++ b/3KaffeeProblem.svg @@ -486,19 +486,5 @@ id="tspan3061">Δ2 - Δ3 diff --git a/main.pdf b/main.pdf index aee3905..514b952 100644 Binary files a/main.pdf and b/main.pdf differ diff --git a/main.tex b/main.tex index 758533e..0852036 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -43,7 +43,7 @@ \title{Vom Kaffee-Problem} \author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg} -\date{September 2014} +\date{Dezember 2014} \begin{document} @@ -54,7 +54,7 @@ %% Abstract \begin{abstract} - Das n-Kaffee-Problem + Das \(n\)-Kaffee-Problem beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse in einer Gruppe von \(n\in\naturals\) Personen. Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert. @@ -70,12 +70,12 @@ \section{Einleitung} \label{sec:einleitung} -Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb +Der normale universitäre Wissenschaftsbetrieb wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren, also allgemein durch \emph{Wissenschaftler}, aufrecht erhalten. Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte, -welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln. +welche \emph{Kaffee} in \emph{Theoreme} verstoffwechseln. Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{% Wenn man da Milch reintut ist er aber nicht mehr schwarz.} kann also völlig zu Recht als das Fundament @@ -91,7 +91,7 @@ Dabei kommt es immer wieder vor, dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat. Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus in der optimistischen Hoffnung, -den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen. +den Gefallen irgendwann heimgezahlt zu bekommen. Während die Schuldenverhältnisse bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind, ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{% @@ -101,15 +101,15 @@ ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.} \paragraph{Aufbau} In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit -definieren wir zu Beginn in \autoref{sec:kaffeeproblem} +definieren wir zu Beginn im ersten Hauptteil das \(n\)-Kaffee-Problem, welches die Frage der Schuldenverhältnisse zwischen zwei Mitgliedern einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt. Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung -bevor wir in \autoref{sec:visualisierung} +bevor wir im zweiten Hauptteil einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen. -Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung} +Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen. \paragraph{Verwandte Arbeiten} @@ -140,7 +140,7 @@ insbesondere auf kleinere Gruppen bezieht, unternimmt Fisher eine Studie, die beleuchtet, wie die \emph{International Coffee Organization} (ICO) -Krisen im internationalen Kaffee löst. +Krisen im internationalen Kaffeegeschehen löst. Mit Diplomatie. Fasano \etal haben mathematische Modelle @@ -148,7 +148,7 @@ zur Beschreibung des Prozesses eingeführt, Espresso aufzubrühen~\cite{FasanoTP00}. Unsere Arbeit bezieht sich im Gegensatz zu Fasano \etal nicht auf die Seite des Aufbrühenden, -sondern des potentiell verbrühten. +sondern des potentiell Verbrühten. Ebenfalls auf den Herstellungsprozess beziehen sich \emph{Requests for Comments} (RFC), welche das \emph{Hyper Text Coffee Pot Control Protocol} @@ -161,7 +161,7 @@ Sollte beispielsweise Heinold Kaffee trinken, verliert er in seiner Abschlussarbeit nicht ein einziges Wort darüber und vermeidet so die Möglichkeit, -die Qualität der Arbeit noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}. +deren Qualität noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}. Walker beschäftigt sich damit, wo Krokodile und Vögel herkommen~\cite{Walker72}. @@ -192,9 +192,10 @@ Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich, ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird. Wichtig ist lediglich, dass die beteiligten Personen -sich gegenseitig Kaffee ausgeben. +sich gegenseitig Kaffee ausgeben.\footnote{% +Tee scheidet aus. Tee ist schwach.} -Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit, +Zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir nun eine Möglichkeit, die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren. \begin{defi}[Kaffeekasse] @@ -202,8 +203,8 @@ die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren. Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen. Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\), - \(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\), - für das gilt: + \(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\) + mit \[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \] Für \(1 \leq i \leq n\) bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz @@ -219,16 +220,14 @@ Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich: Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus, müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln. -% \begin{defi}[kaffeekassentransitionition] -\begin{defi}[Kaffeekassensturz] +\begin{defi}[kaffeekassentransition] \label{def:kaffeekassentransition} Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen, \(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so, dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt. - % Die Kaffeekassentransition - Der Kaffeekassensturz + Die Kaffeekassentransition liefert zu \(k\) eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit \[ \Delta_x' = \left\{ @@ -241,10 +240,15 @@ müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln. für \(x \in {[n]}\). \end{defi} -Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los, -um sich gegenseitig Kaffess auszugeben, +Zieht nun eine mindestens zweielementige Teilmenge des Kaffeekränzchens los, +um sich gegenseitig Kaffees auszugeben, ist immer wieder die Frage zu klären, -wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist. +wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.\footnote{% +Bestünde die Teilmenge lediglich aus einer Person +(ohne gespaltene Persönlichkeit) +entzöge dies unserem Problem +dezent den Problemcharakter, +was wir natürlich nicht zulassen können.} Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formalisiert exakt diese Fragestellung. @@ -286,7 +290,7 @@ Betrachten wir das Beispiel \(n=2\). Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit funktioniert nicht nur für \(n=2\), -sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\). +sondern für beliebige \(n>1\). Das ist die Aussage des folgenden Satzes. \begin{satz}[Kaffeesatz] @@ -316,8 +320,11 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes. \subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon} \label{sub:kaffeeparadoxon} -Mit der in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an, -wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet. +Die definitiv in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an, +wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.\footnote{% +Um seine Schulden loszuwerden, +wird keine wörtliche Entschuldigung akzeptiert, +sondern nur Kaffee.} Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden, von wem sie noch Kaffees bekommt oder wem sie Kaffees schuldet. @@ -329,9 +336,9 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w \label{def:explizitekaffeekasse} Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen. Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} - ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit: + ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit \begin{enumerate} - \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \) + \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \) und \item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \) \end{enumerate} Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt: @@ -342,21 +349,18 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w \end{align*} \end{defi} -Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir -% die Transition -den Kassensturz +Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse +definieren wir die Transition analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. -% \begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition] -\begin{defi}[Expliziter Kaffeekassensturz] +\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition] \label{def:explizitekaffeekassentransition} Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\), \(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\), \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so, dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt. - % Die explizite Kaffeekassentransition - Der explizite Kaffeekassensturz + Die explizite Kaffeekassentransition liefert zu \(\kappa\) eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit \[ \delta_{k,l}' = \left\{ @@ -384,10 +388,10 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. Trivialerweise gilt \[ \begin{array}{lll} - \sum\limits_{i=1}^n \Delta_i & = & \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\ - & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\ - & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\ - & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\ + \displaystyle\sum_{i=1}^n \Delta_i & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\ + & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\ + & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\ + & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\ & = & 0. \end{array} \] @@ -398,7 +402,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. \begin{beob}[Kaffeeparadoxon] \label{beob:kaffeparadoxon} - Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \) + Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \) und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\). Nehmen wir an, \(p_2\) hat bisher jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt. @@ -412,7 +416,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. \end{array} \right). \] Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist, - werden stets zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn + werden stets genau zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden, damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist. @@ -421,15 +425,20 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. Hierbei ist unmittelbar zu erkennen, das nur 2 Kaffees benötigt werden, um die Kaffeeschulden auszugleichen. - - Dieses Phänomen, - welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, - lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} begründen. - Die bilanzierende Kaffeekasse - vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt, - während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen. \end{beob} +Dieses Phänomen, +welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, +lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} erklären. +Die bilanzierende Kaffeekasse +vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt, +während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen. +Welche Variante gewählt wird ist Geschmackssache\footnote{% +Im Gegensatz zu heißem, leckeren Kaffee. +Der schmeckt richtig.} +und hängt davon ab, +wie unnötig kompliziert man es gerne möchte. + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Visualisierung des Kaffeeproblems @@ -437,17 +446,19 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. \label{sec:visualisierung} Im folgenden stellen wir Möglichkeiten vor, das Kaffeeproblem für Gruppen aus 2 oder 3 Personen -grafisch darzustellen bzw. zu lösen. +grafisch darzustellen und zu lösen. -\subsection{Darstellung des 2-Kaffee-Problems} +\subsection{Visualisierung des 2-Kaffee-Problems} \label{ssec:2-kaffee-problem} Wie bereits in \autoref{beis:2-kaffee-problem} angesprochen, wird nur eine einzelne Komponente der Kaffeekasse benötigt. -Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar. +Somit stellen wir die Kaffeekasse +mit einem Kaffeestrahl dar +(\autoref{fig:2-kaffee-problem}). \begin{figure}[tb] \centering - \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem} + \includegraphics[scale=.8]{2KaffeeProblem} \caption{% Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems. In diesem Fall schuldet \(p_1\) \(p_2\) @@ -456,24 +467,6 @@ Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar. \label{fig:2-kaffee-problem} \end{figure} -In der Abbildung lässt sich -durch Verschieben des Punktes -der Zustand aktualisieren. -Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt, -also von der ausgebenden Person weg -und auf die empfangende Person zu. - -\subsection{Darstellungen des 3-Kaffee-Problems} -Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann -für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein -kartesisches Koordinatensystem verwendet werden, -in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) -als Koordinaten eingetragen werden -(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}). -Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\) -kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden, -deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt. - \begin{figure}[tb] \centering \includegraphics[scale=.8]{3KaffeeKartesisch} @@ -484,6 +477,23 @@ deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt. \label{fig:3-kaffee-kartesisch} \end{figure} +In der Abbildung lässt sich +durch Verschieben des Punktes +der Zustand aktualisieren. +Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt, +also von der ausgebenden Person weg +hin zur empfangenden Person. + +\subsection{Visualisierung des 3-Kaffee-Problems} +Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann +für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein +kartesisches Koordinatensystem verwendet werden, +in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) +als Koordinaten eingetragen werden +(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}). +Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\) +kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden + Die Aktualisierung der Darstellung muss erfolgen, indem der Punkt den Änderungen in \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) entsprechend verschoben wird. @@ -492,8 +502,8 @@ nachzudenken. Um dieses schwerwiegende Manko zu beheben bietet sich eine Visualisierung -in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an, -wie in \autoref{fig:3-kaffee-schief} dargestellt. +in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an +(\autoref{fig:3-kaffee-schief}). Die Achsen schneiden sich hier in einem Winkel von \(60\degree\). Die Darstellung unterscheidet sich prinzipiell nicht sonderlich von der Darstellung im orthogonalen Koordinatensystem. @@ -520,11 +530,11 @@ hin zur empfangenen Person verschoben werden. \label{sec:zusammenfassung} In dieser durch die Einleitung eingeleiteten, -durch beiden Hauptteile angereicherten +durch die beiden Hauptteile angereicherten und im Schluss abgeschlossenen Arbeit -haben wir das n-Kaffee-Problem eingeführt, +haben wir das \(n\)-Kaffee-Problem eingeführt, Probleme an den Haaren herbeigezogen -und schließlich Visualisierungen entwickelt.\footnote{% +und schließlich Visualisierungen zu deren Lösung entwickelt.\footnote{% Visualisierungen, die sich übrigens prima an Whiteboards machen.} Mit Hilfe des Kaffeesatzes konnten wir Kaffeekassen auf kleinere Kaffeekassen reduzieren @@ -534,7 +544,11 @@ voneinander abgegrenzt und das Kaffee-Paradoxon nicht nur entdeckt, sondern auch aufgeklärt. -Offen bleibt, +Zukünftige Arbeiten könnten die Auswirkungen +des Ein- und Austritts von Personen +zu Kaffeekränzchen +auf die Kaffeekasse klären. +Offen bleibt zunächst auch, ob man einfache Visualisierungen auch für \(n\)-Kaffeekränzchen mit \(n > 3\) entwickeln kann. Des Weiteren hatten wir keine Lust mehr,