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@@ -33,6 +33,8 @@
 \newcommand{\beisautorefname}{Beispiel}
 
 
+
+
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %% Dokumentinformationen
 
@@ -119,7 +121,7 @@ Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
 müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
 die das Problem überhaupt interessiert.\footnote{%
  Hierzu gehört offenbar der Leser,
- sonst würde er diesen Stuss ja nicht lesen}
+ sonst würde er diese Ausarbeitung sicher nicht lesen.}
 
 \begin{defi}[Kaffeekränzchen]
   \label{def:kaffeekraenzchen}
@@ -210,9 +212,10 @@ Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
 \label{beis:2-kaffee-problem}
   Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und
   \(k\) eine K-Kaffeekasse.
-  Nehmen wir an, dass bisher \(p_1\) zweimal
-  einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat,
-  dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
+  Nehmen wir an,
+  dass bisher \(p_1\) zweimal
+  einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat.
+  Dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
 
   Es lässt sich leicht erkennen,
   dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
@@ -237,7 +240,7 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
   und \(k\) eine Kaffeekasse
   über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
   Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
-  genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
+  genügen \(n-1\) Komponenten von \(k\).
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
@@ -258,24 +261,27 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
 \subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
 \label{sub:kaffeeparadoxon}
 
-Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
-modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
-Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
-Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
+Mit der in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
+wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.
+Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
+von wem sie noch Kaffees bekommt
+oder wem sie Kaffees schuldet.
+Die Kaffeekasse ist also eine \emph{bilanzierende Kaffeekasse}.
+Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden, 
 in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
 
 \begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
   \label{def:explizitekaffeekasse}
   Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
-  Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix
-  \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt:
+  Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse}
+  ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit:
   \begin{enumerate}
     \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
     \item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
   \end{enumerate}
   Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
   \begin{align*}
-    \delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
+    \delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt von } p_j \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
     \delta_{i,j} = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeebilanz zwischen }p_i\text{ und }p_j\text{ ist ausgeglichen.} \\
     \delta_{i,j} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
   \end{align*}
@@ -308,9 +314,10 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
   für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\).
 \end{defi}
 
-\begin{satz}
-  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
-  und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende,
+\begin{satz}[Bilanzierender Kaffeekassenexplikationssatz]
+  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen 
+  und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
+  Dann existiert eine entsprechende
   bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -327,12 +334,12 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
 
 \begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
   \label{beob:kaffeparadoxon}
-  Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \)
+  Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \) 
   und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
-  Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher
+  Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher 
   jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
   Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
-  Somit ergibt sich
+  Somit ergibt sich 
   \[\kappa = \left(
     \begin{array}{rrr}
        0 &  1 &  1 \\
@@ -436,14 +443,14 @@ Als alternative Darstellung kann ein
 geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem
 gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief}
 schneiden sich die Achsen
-mit einem Winkel von 60\degree.
+mit einem Winkel von 60\degree. 
 Bei dieser Art des Koordinatensystems
 können die selben Koordinaten verwendet werden,
 die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden.
 Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten
-plaziert werden, um eine einfacher Transition
+plaziert werden, um eine einfacher Transition 
 zu ermöglichen.
-Nun kann hier auch die Markierung wieder
+Nun kann hier auch die Markierung wieder 
 ``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg
 und auf die empfangende Person zu, verschoben werden.