diff --git a/main.tex b/main.tex
index eebf6fc..0e18ab1 100644
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -33,6 +33,8 @@
 \newcommand{\beisautorefname}{Beispiel}
 
 
+
+
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %% Dokumentinformationen
 
@@ -119,7 +121,7 @@ Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
 müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
 die das Problem überhaupt interessiert.\footnote{%
  Hierzu gehört offenbar der Leser,
- sonst würde er diesen Stuss ja nicht lesen}
+ sonst würde er diese Ausarbeitung sicher nicht lesen.}
 
 \begin{defi}[Kaffeekränzchen]
   \label{def:kaffeekraenzchen}
@@ -210,9 +212,10 @@ Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
 \label{beis:2-kaffee-problem}
   Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und
   \(k\) eine K-Kaffeekasse.
-  Nehmen wir an, dass bisher \(p_1\) zweimal
-  einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat,
-  dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
+  Nehmen wir an,
+  dass bisher \(p_1\) zweimal
+  einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat.
+  Dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
 
   Es lässt sich leicht erkennen, 
   dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
@@ -237,7 +240,7 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
   und \(k\) eine Kaffeekasse
   über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
   Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
-  genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
+  genügen \(n-1\) Komponenten von \(k\).
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
@@ -258,24 +261,27 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
 \subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
 \label{sub:kaffeeparadoxon}
 
-Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
-modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
-Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
-Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden, 
+Mit der in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
+wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.
+Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
+von wem sie noch Kaffees bekommt
+oder wem sie Kaffees schuldet.
+Die Kaffeekasse ist also eine \emph{bilanzierende Kaffeekasse}.
+Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden, 
 in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
 
 \begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
   \label{def:explizitekaffeekasse} 
   Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
-  Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix
-  \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt:
+  Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse}
+  ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit:
   \begin{enumerate}
     \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
     \item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
   \end{enumerate}
   Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
   \begin{align*}
-    \delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
+    \delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt von } p_j \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
     \delta_{i,j} = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeebilanz zwischen }p_i\text{ und }p_j\text{ ist ausgeglichen.} \\
     \delta_{i,j} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
   \end{align*}
@@ -308,9 +314,10 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
   für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\).
 \end{defi}
 
-\begin{satz}
-  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen 
-  und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende,
+\begin{satz}[Bilanzierender Kaffeekassenexplikationssatz]
+  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen 
+  und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
+  Dann existiert eine entsprechende
   bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
 \end{satz}
 \begin{proof}