\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{gensymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{graphicx} \usepackage{hyperref} \usepackage{xspace} \usepackage{todonotes} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Tolle Definitionen \newcommand{\naturals}{\mathbb{N}} \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}} \newcommand{\etal}{{et al.\@}\xspace} \newtheorem{defi}{Definition} \newcommand{\defiautorefname}{Definition} \newtheorem{koro}{Korollar} \newcommand{\koroautorefname}{Korollar} \newtheorem{lemma}{Lemma} \newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma} \newtheorem{satz}{Satz} \newcommand{\satzautorefname}{Satz} \newtheorem{beob}{Beobachtung} \newcommand{\beobautorefname}{Beobachtung} \newtheorem*{beis}{Beispiel} \newcommand{\beisautorefname}{Beispiel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Dokumentinformationen \title{Vom Kaffee-Problem} \author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg} \date{Dezember 2014} \begin{document} \maketitle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Abstract \begin{abstract} Das \(n\)-Kaffee-Problem beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse in einer Gruppe von \(n\in\naturals\) Personen. Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert. In dieser Arbeit definieren wir das Problem und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel, Änderungen in den Verhältnissen möglichst aufwandsminimiert notieren zu können. \end{abstract} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Einleitung \section{Einleitung} \label{sec:einleitung} Der normale universitäre Wissenschaftsbetrieb wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren, also allgemein durch \emph{Wissenschaftler}, aufrecht erhalten. Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte, welche \emph{Kaffee} in \emph{Theoreme} verstoffwechseln. Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{% Wenn man da Milch reintut ist er aber nicht mehr schwarz.} kann also völlig zu Recht als das Fundament menschlichen Fortschitts angesehen werden. Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen im von ausufernden Denkprozessen gekennzeichneten Alltag herbeizuführen, ist das gemeinsame, rudelhafte Beschaffen von heißem Kaffee üblich.\footnote{% Das gilt nicht nur für den 29.\,September, den \emph{Tag des Kaffees}.} Dabei kommt es immer wieder vor, dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat. Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus in der optimistischen Hoffnung, den Gefallen irgendwann heimgezahlt zu bekommen. Während die Schuldenverhältnisse bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind, ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{% Zunahme bei größer werdenden Gruppen ist auch ein von den \emph{Weight Watchers} behandeltes Problem, ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.} \paragraph{Aufbau} In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit definieren wir zu Beginn im ersten Hauptteil das \(n\)-Kaffee-Problem, welches die Frage der Schuldenverhältnisse zwischen zwei Mitgliedern einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt. Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung bevor wir im zweiten Hauptteil einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen. Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen. \paragraph{Verwandte Arbeiten} Unseres Wissens nach ist diese Arbeit die erste, die sich mit den finanziellen Aspekten kaffeespendierender Gruppen auseinandersetzt. Viel Forschungsarbeit wurde allerdings in anderen Bereichen der wunderbaren Welt des Kaffees geleistet. Troyer und Markle betrachten gesundheitliche Folgen des Kaffeetrinkens und beleuchten die Frage, ob Kaffee ein zunehmendes soziales Problem sei~\cite{TroyerM84}. In der vorliegenden Arbeit ist Kaffee kein Problem, sondern heiß und lecker. Tatsächlich gibt es frei erfundene Indizien, dass ein Mangel an Kaffee die Reaktionszeiten von Wissenschaftlern nachhaltig negativ beeinflusst. Ähnliche Reaktionszeitbetrachtungen wurden bislang nur für reaktive Softwaresysteme durchgeführt (zum Beispiel von Boldt, Traulsen und von Hanxleden~\cite{BoldtTvH07}), wobei maximal die Autoren, nicht aber die Softwaresysteme unter Kaffeeeinfluss standen. Während sich die vorliegende Arbeit insbesondere auf kleinere Gruppen bezieht, unternimmt Fisher eine Studie, die beleuchtet, wie die \emph{International Coffee Organization} (ICO) Krisen im internationalen Kaffeegeschehen löst~\cite{ Fisher72}. Mit Diplomatie. Fasano \etal haben mathematische Modelle zur Beschreibung des Prozesses eingeführt, Espresso aufzubrühen~\cite{FasanoTP00}. Unsere Arbeit bezieht sich im Gegensatz zu Fasano \etal nicht auf die Seite des Aufbrühenden, sondern des potentiell Verbrühten. Ebenfalls auf den Herstellungsprozess beziehen sich \emph{Requests for Comments} (RFC), welche das \emph{Hyper Text Coffee Pot Control Protocol} sowie Erweiterungen für Tee spezifieren~\cite{rfc2324,rfc7168}. Trotz ähnlicher Terminologie beziehen sich Arbeiten zu \emph{Java} enttäuschenderweise oft auf die Programmiersprache. Sollte beispielsweise Heinold Kaffee trinken, verliert er in seiner Abschlussarbeit nicht ein einziges Wort darüber und vermeidet so die Möglichkeit, deren Qualität noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}. Walker beschäftigt sich damit, wo Krokodile und Vögel herkommen~\cite{Walker72}. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem \section{Erster Hauptteil} \label{sec:kaffeeproblem} Um das Kaffee-Problem betrachten zu können, müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren, die das Problem überhaupt interessiert.\footnote{% Hierzu gehört offenbar der Leser, sonst würde er diese Ausarbeitung sicher nicht lesen.} \begin{defi}[Kaffeekränzchen] \label{def:kaffeekraenzchen} Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\) für \(n\in\naturals_{\geq 2}\) bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen} oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.\footnote{% Man könnte in der Definition des Kaffeekränzchens sicherlich auch \(n=1\) zulassen, aber das ist uns zu traurig.} \end{defi} Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich, ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird. Wichtig ist lediglich, dass die beteiligten Personen sich gegenseitig Kaffee ausgeben.\footnote{% Tee scheidet aus. Tee ist schwach.} Zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir nun eine Möglichkeit, die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren. \begin{defi}[Kaffeekasse] \label{def:kaffeekasse} Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen. Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\), \(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\) mit \[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \] Für \(1 \leq i \leq n\) bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz der von \(p_i\) getrunkenen und ausgegebenen Kaffees. \end{defi} Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich: \begin{align*} \Delta_i < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\ \Delta_i > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees} \end{align*} Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus, müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln. \begin{defi}[Kaffeekassentransition] \label{def:kaffeekassentransition} Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen, \(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so, dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt. Die Kaffeekassentransition liefert zu \(k\) eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit \[ \Delta_x' = \left\{ \begin{array}{ll} \Delta_x - 1 & \text{, falls } x=i \\ \Delta_x + 1 & \text{, falls } x=j \\ \Delta_x & \text{, sonst} \end{array} \right. \] für \(x \in {[n]}\). \end{defi} Zieht nun eine mindestens zweielementige Teilmenge des Kaffeekränzchens los, um sich gegenseitig Kaffees auszugeben, ist immer wieder die Frage zu klären, wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.\footnote{% Bestünde die Teilmenge lediglich aus einer Person (ohne gespaltene Persönlichkeit) entzöge dies unserem Problem dezent den Problemcharakter, was wir natürlich nicht zulassen können.} Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formalisiert exakt diese Fragestellung. \begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem] \label{def:kaffee_problem} Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und \(k\) eine Kaffeekasse über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\). Gegeben zwei Personen \(p_i,p_j \in K\), die einen Kaffee zusammen trinken wollen. Das \(n\)-Kaffee-Problem besteht darin, zu entscheiden, ob \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgeben muss oder umgekehrt. \end{defi} Betrachten wir das Beispiel \(n=2\). \begin{beis}[2-Kaffee-Problem] \label{beis:2-kaffee-problem} Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und \(k\) eine K-Kaffeekasse. Nehmen wir an, dass bisher \(p_1\) zweimal einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat. Dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\). Es lässt sich leicht erkennen, dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss. Somit können wir ohne Informationsverlust die zweite Komponente der Kaffekasse vernachlässigen und nur noch $\Delta_1$ betrachten. Hierbei gilt: \begin{align*} \Delta_1 < 0 &: \enspace p_2 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } |\Delta_1| \text{ Kaffees.} \\ \Delta_1 = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeekasse ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\ \Delta_1 > 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_2 \text{ noch } \Delta_1 \text{ Kaffees.} \end{align*} \end{beis} Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit funktioniert nicht nur für \(n=2\), sondern für beliebige \(n>1\). Das ist die Aussage des folgenden Satzes. \begin{satz}[Kaffeesatz] \label{satz:kaffeesatz} Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und \(k\) eine Kaffeekasse über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\). Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen genügen \(n-1\) Komponenten von \(k\). \end{satz} \begin{proof} Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt: \[ \begin{array}{lll} & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} + \Delta_n &= 0 \\ \Leftrightarrow & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} &= {-\Delta_n} \end{array} \] Das Kaffeedelta \(\Delta_n\) lässt sich also aus den übrigen Kaffeedeltas direkt berechnen und braucht daher nicht explizit in der Kaffeekasse geführt zu werden. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon \subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon} \label{sub:kaffeeparadoxon} Die definitiv in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an, wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.\footnote{% Um seine Schulden loszuwerden, wird keine wörtliche Entschuldigung akzeptiert, sondern nur Kaffee.} Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden, von wem sie noch Kaffees bekommt oder wem sie Kaffees schuldet. Die Kaffeekasse ist also eine \emph{bilanzierende Kaffeekasse}. Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden, in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden. \begin{defi}[Explizite Kaffeekasse] \label{def:explizitekaffeekasse} Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen. Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit \begin{enumerate} \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \) und \item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \) \end{enumerate} Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt: \begin{align*} \delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt von } p_j \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\ \delta_{i,j} = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeebilanz zwischen }p_i\text{ und }p_j\text{ ist ausgeglichen.} \\ \delta_{i,j} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.} \end{align*} \end{defi} Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir die Transition analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. \begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition] \label{def:explizitekaffeekassentransition} Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\), \(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\), \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so, dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt. Die explizite Kaffeekassentransition liefert zu \(\kappa\) eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit \[ \delta_{k,l}' = \left\{ \begin{array}{ll} \delta_{k,l} - 1 & \text{, falls } k=i \text{ und } l=j \\ \delta_{k,l} + 1 & \text{, falls } k=j \text{ und } l=i \\ \delta_{k,l} & \text{, sonst} \end{array} \right. \] für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\). \end{defi} \begin{satz}[Expliziter Kaffeekassenbilanzierungssatz] Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse. \end{satz} \begin{proof} Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen und \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\) für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun \[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \] Trivialerweise gilt \[ \begin{array}{lll} \displaystyle\sum_{i=1}^n \Delta_i & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\ & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\ & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\ & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\ & = & 0. \end{array} \] Die bilanzierende Kaffeekasse ergibt sich also als \( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \). \end{proof} \begin{beob}[Kaffeeparadoxon] \label{beob:kaffeparadoxon} Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \) und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\). Nehmen wir an, \(p_2\) hat bisher jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt. Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben. Somit ergibt sich \[\kappa = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right). \] Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist, werden stets genau zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden, damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist. Bilden wir zu \(\kappa\) nun die bilanzierende Kaffeekasse \(k\), so ergibt sich \(k = (2,-2,0) \). Hierbei ist unmittelbar zu erkennen, das nur 2 Kaffees benötigt werden, um die Kaffeeschulden auszugleichen. \end{beob} Dieses Phänomen, welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} erklären. Die bilanzierende Kaffeekasse vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt, während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen. Welche Variante gewählt wird ist Geschmackssache\footnote{% Im Gegensatz zu heißem, leckeren Kaffee. Der schmeckt richtig.} und hängt davon ab, wie unnötig kompliziert man es gerne möchte. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Visualisierung des Kaffeeproblems \section{Zweiter Hauptteil} \label{sec:visualisierung} Im folgenden stellen wir Möglichkeiten vor, das Kaffeeproblem für Gruppen aus 2 oder 3 Personen grafisch darzustellen und zu lösen. \subsection{Visualisierung des 2-Kaffee-Problems} \label{ssec:2-kaffee-problem} Wie bereits in \autoref{beis:2-kaffee-problem} angesprochen, wird nur eine einzelne Komponente der Kaffeekasse benötigt. Somit stellen wir die Kaffeekasse mit einem Kaffeestrahl dar (\autoref{fig:2-kaffee-problem}). \begin{figure}[tb] \centering \includegraphics[scale=.8]{2KaffeeProblem} \caption{% Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems. In diesem Fall schuldet \(p_1\) \(p_2\) noch \(2\) Kaffees. } \label{fig:2-kaffee-problem} \end{figure} \begin{figure}[tb] \centering \includegraphics[scale=.8]{3KaffeeKartesisch} \caption{% Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit kartesischen Koordianten. Die Darstellung entspricht der Kaffeekasse \(k = (2,-1,-1) \). } \label{fig:3-kaffee-kartesisch} \end{figure} In der Abbildung lässt sich durch Verschieben des Punktes der Zustand aktualisieren. Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt, also von der ausgebenden Person weg hin zur empfangenden Person. \subsection{Visualisierung des 3-Kaffee-Problems} Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein kartesisches Koordinatensystem verwendet werden, in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) als Koordinaten eingetragen werden (\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}). Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\) kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden Die Aktualisierung der Darstellung muss erfolgen, indem der Punkt den Änderungen in \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) entsprechend verschoben wird. Man kommt hier zuweilen nicht drum herum, nachzudenken. Um dieses schwerwiegende Manko zu beheben bietet sich eine Visualisierung in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an (\autoref{fig:3-kaffee-schief}). Die Achsen schneiden sich hier in einem Winkel von \(60\degree\). Die Darstellung unterscheidet sich prinzipiell nicht sonderlich von der Darstellung im orthogonalen Koordinatensystem. Allerdings ist das Verschieben der Markierung simpler: um einen ausgegebenen Kaffee einzutragen muss die Markierung "`mit dem Kaffee"' von der ausgebenden Person weg hin zur empfangenen Person verschoben werden. \begin{figure}[tb] \centering \includegraphics[scale=.8]{3KaffeeProblem} \caption{% Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit schiefen Koordinaten. Die Darstellung entspricht der Kaffeekasse \(k = (2,-1,-1) \). } \label{fig:3-kaffee-schief} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Zusammenfassung \section{Schluss} \label{sec:zusammenfassung} In dieser durch die Einleitung eingeleiteten, durch die beiden Hauptteile angereicherten und im Schluss abgeschlossenen Arbeit haben wir das \(n\)-Kaffee-Problem eingeführt, Probleme an den Haaren herbeigezogen und schließlich Visualisierungen zu deren Lösung entwickelt.\footnote{% Visualisierungen, die sich übrigens prima an Whiteboards machen.} Mit Hilfe des Kaffeesatzes konnten wir Kaffeekassen auf kleinere Kaffeekassen reduzieren und so auch komplexere Konstellationen visualisieren. Wir haben bilanzierende und explizite Kaffeekassen voneinander abgegrenzt und das Kaffee-Paradoxon nicht nur entdeckt, sondern auch aufgeklärt. Zukünftige Arbeiten könnten die Auswirkungen des Ein- und Austritts von Personen zu Kaffeekränzchen auf die Kaffeekasse klären. Offen bleibt zunächst auch, ob man einfache Visualisierungen auch für \(n\)-Kaffeekränzchen mit \(n > 3\) entwickeln kann. Des Weiteren hatten wir keine Lust mehr, weiter nach noch einfacheren Visualisierungen für \(n < 4\) zu fahnden. Wir überlassen es dem geneigten wissenschaftlichen Nachwuchs, darüber Köpfe zu zerbrechen. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% References \bibliographystyle{plain} \bibliography{references} \end{document}