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%% Optionen

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%% Tolle Definitionen

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\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}

\newcommand{\etal}{{et al.\@}\xspace}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Dokumentinformationen

\title{Vom Kaffeeproblem}
\author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg}
\date{Dezember 2014}


\begin{document}
\maketitle


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Abstract

\begin{abstract}
  Das \(n\)-Kaffee-Problem
  beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
  in einer Gruppe von \(n\in\naturals\) Personen.
  Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
  In dieser Arbeit definieren wir das Problem
  und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel,
  Änderungen in den Verhältnissen
  möglichst aufwandsminimiert notieren zu können.
\end{abstract}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Einleitung
\section{Einleitung}
\label{sec:einleitung}

Der normale universitäre Wissenschaftsbetrieb
wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
aufrecht erhalten.
Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
welche \emph{Kaffee} in \emph{Theoreme} verstoffwechseln.
Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{%
Wenn man da Milch reintut ist er aber nicht mehr schwarz.}
kann also völlig zu Recht als das Fundament
menschlichen Fortschitts
angesehen werden.

Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen
im von ausufernden Denkprozessen gekennzeichneten Alltag herbeizuführen,
ist das gemeinsame, rudelhafte Beschaffen von heißem Kaffee üblich.\footnote{%
Das gilt nicht nur für den 29.\,September,
den \emph{Tag des Kaffees}.}
Dabei kommt es immer wieder vor,
dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
in der optimistischen Hoffnung,
den Gefallen irgendwann heimgezahlt zu bekommen.
Während die Schuldenverhältnisse
bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
Zunahme bei größer werdenden Gruppen
ist auch ein von den \emph{Weight Watchers} behandeltes Problem,
ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}

\paragraph{Aufbau}
In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
definieren wir zu Beginn im ersten Hauptteil
das \(n\)-Kaffee-Problem,
welches die Frage der Schuldenverhältnisse
zwischen zwei Mitgliedern
einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
bevor wir im zweiten Hauptteil
einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss
und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.

\paragraph{Verwandte Arbeiten}
Unseres Wissens nach
ist diese Arbeit die erste,
die sich mit den finanziellen Aspekten
kaffeespendierender Gruppen auseinandersetzt.
Viel Forschungsarbeit wurde allerdings
in anderen Bereichen der wunderbaren Welt des Kaffees geleistet.

Troyer und Markle betrachten gesundheitliche Folgen des Kaffeetrinkens
und beleuchten die Frage,
ob Kaffee ein zunehmendes soziales Problem sei~\cite{TroyerM84}.
In der vorliegenden Arbeit ist Kaffee kein Problem,
sondern heiß und lecker.
Tatsächlich gibt es frei erfundene Indizien,
dass ein Mangel an Kaffee die Reaktionszeiten von Wissenschaftlern
nachhaltig negativ beeinflusst.
Ähnliche Reaktionszeitbetrachtungen
wurden bislang nur für reaktive Softwaresysteme durchgeführt
(zum Beispiel von Boldt, Traulsen und von Hanxleden~\cite{BoldtTvH07}),
wobei maximal die Autoren,
nicht aber die Softwaresysteme
unter Kaffeeeinfluss standen.

Während sich die vorliegende Arbeit
insbesondere auf kleinere Gruppen bezieht,
unternimmt Fisher eine Studie,
die beleuchtet,
wie die \emph{International Coffee Organization} (ICO)
Krisen im internationalen Kaffeegeschehen löst~\cite{ Fisher72}.
Mit Diplomatie.

Fasano \etal haben mathematische Modelle
zur Beschreibung des Prozesses eingeführt,
Espresso aufzubrühen~\cite{FasanoTP00}.
Unsere Arbeit bezieht sich im Gegensatz zu Fasano \etal
nicht auf die Seite des Aufbrühenden,
sondern des potentiell Verbrühten.
Ebenfalls auf den Herstellungsprozess
beziehen sich \emph{Requests for Comments} (RFC),
welche das \emph{Hyper Text Coffee Pot Control Protocol}
sowie Erweiterungen für Tee spezifieren~\cite{rfc2324,rfc7168}.

Trotz ähnlicher Terminologie
beziehen sich Arbeiten zu \emph{Java}
enttäuschenderweise oft auf die Programmiersprache.
Sollte beispielsweise Heinold Kaffee trinken,
verliert er in seiner Abschlussarbeit
nicht ein einziges Wort darüber
und vermeidet so die Möglichkeit,
deren Qualität noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}.

Walker beschäftigt sich damit,
wo Krokodile und Vögel herkommen~\cite{Walker72}.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem
\section{Erster Hauptteil}
\label{sec:kaffeeproblem}

Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
die das Problem überhaupt interessiert.\footnote{%
 Hierzu gehört offenbar der Leser,
 sonst würde er diese Ausarbeitung sicher nicht lesen.}

\begin{defi}[Kaffeekränzchen]
  \label{def:kaffeekraenzchen}
  Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\)
  für \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
  bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen}
  oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.\footnote{%
    Man könnte in der Definition des Kaffeekränzchens sicherlich auch \(n=1\) zulassen,
    aber das ist uns zu traurig.}
\end{defi}

Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
Wichtig ist lediglich,
dass die beteiligten Personen
sich gegenseitig Kaffee ausgeben.\footnote{%
Tee scheidet aus. Tee ist schwach.}

Zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir nun eine Möglichkeit,
die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.

\begin{defi}[Kaffeekasse]
  \label{def:kaffeekasse}
  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
  und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
  Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
  \(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\)
  mit
  \[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
  Für \(1 \leq i \leq n\)
  bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz
  der von \(p_i\) getrunkenen und ausgegebenen Kaffees.
\end{defi}

Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
\begin{align*}
  \Delta_i < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
  \Delta_i > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
\end{align*}

Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.

\begin{defi}[Kaffeekassentransition]
  \label{def:kaffeekassentransition}
  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
  \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
  \(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
  sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
  dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
  Die Kaffeekassentransition
  liefert zu \(k\)
  eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
  \[ \Delta_x' = \left\{
    \begin{array}{ll}
      \Delta_x - 1 & \text{, falls } x=i \\
      \Delta_x + 1 & \text{, falls } x=j \\
      \Delta_x     &  \text{, sonst}
    \end{array} \right.
  \]
  für \(x \in {[n]}\).
\end{defi}

Zieht nun eine mindestens zweielementige Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
um sich gegenseitig Kaffees auszugeben,
ist immer wieder die Frage zu klären,
wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.\footnote{%
Bestünde die Teilmenge lediglich aus einer Person
(ohne gespaltene Persönlichkeit)
entzöge dies unserem Problem
dezent den Problemcharakter,
was wir natürlich nicht zulassen können.}
Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
formalisiert exakt diese Fragestellung.

\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
  \label{def:kaffee_problem}
  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
  und \(k\) eine Kaffeekasse
  über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
  Gegeben zwei Personen \(p_i,p_j \in K\),
  die einen Kaffee zusammen trinken wollen.
  Das \(n\)-Kaffee-Problem besteht darin,
  zu entscheiden,
  ob \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgeben muss
  oder umgekehrt.
\end{defi}

Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).

\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
\label{beis:2-kaffee-problem}
  Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und
  \(k\) eine K-Kaffeekasse.
  Nehmen wir an,
  dass bisher \(p_1\) zweimal
  einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat.
  Dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).

  Es lässt sich leicht erkennen,
  dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
  Somit können wir ohne Informationsverlust die
  zweite Komponente der Kaffekasse vernachlässigen
  und nur noch $\Delta_1$ betrachten. Hierbei gilt:
  \begin{align*}
    \Delta_1 < 0 &: \enspace p_2 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } |\Delta_1| \text{ Kaffees.} \\
    \Delta_1 = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeekasse ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
    \Delta_1 > 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_2 \text{ noch } \Delta_1 \text{ Kaffees.}
  \end{align*}
\end{beis}

Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
funktioniert nicht nur für \(n=2\),
sondern für beliebige \(n>1\).
Das ist die Aussage des folgenden Satzes.

\begin{satz}[Kaffeesatz]
  \label{satz:kaffeesatz}
  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
  und \(k\) eine Kaffeekasse
  über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
  Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
  genügen \(n-1\) Komponenten von \(k\).
\end{satz}
\begin{proof}
  Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
  \[
    \begin{array}{lll}
                      & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} + \Delta_n     &= 0         \\
      \Leftrightarrow & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1}                &= {-\Delta_n}
    \end{array}
  \]
  Das Kaffeedelta \(\Delta_n\)
  lässt sich also aus den übrigen Kaffeedeltas direkt berechnen
  und braucht daher nicht explizit in der Kaffeekasse geführt zu werden.
\end{proof}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon
\subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
\label{sub:kaffeeparadoxon}

Die definitiv in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.\footnote{%
Um seine Schulden loszuwerden,
wird keine wörtliche Entschuldigung akzeptiert,
sondern nur Kaffee.}
Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
von wem sie noch Kaffees bekommt
oder wem sie Kaffees schuldet.
Die Kaffeekasse ist also eine \emph{bilanzierende Kaffeekasse}.
Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden,
in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.

\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
  \label{def:explizitekaffeekasse}
  Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
  Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse}
  ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit
  \begin{enumerate}
    \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \) und
    \item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
  \end{enumerate}
  Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
  \begin{align*}
    \delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt von } p_j \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
    \delta_{i,j} = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeebilanz zwischen }p_i\text{ und }p_j\text{ ist ausgeglichen.} \\
    \delta_{i,j} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
  \end{align*}
\end{defi}

Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse
definieren wir die Transition
analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.

\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
  \label{def:explizitekaffeekassentransition}
  Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
  \(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
  \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
  sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
  dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
  Die explizite Kaffeekassentransition
  liefert zu \(\kappa\)
  eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
  \[ \delta_{k,l}' = \left\{
    \begin{array}{ll}
      \delta_{k,l} - 1 & \text{, falls } k=i \text{ und } l=j \\
      \delta_{k,l} + 1 & \text{, falls } k=j \text{ und } l=i \\
      \delta_{k,l}     & \text{, sonst}
    \end{array} \right.
  \]
  für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\).
\end{defi}

\begin{satz}[Expliziter Kaffeekassenbilanzierungssatz]
  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen
  und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
  Dann existiert eine entsprechende
  bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
\end{satz}
\begin{proof}
  Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
  und \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
  Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
  für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun
  \[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
  Trivialerweise gilt
  \[
    \begin{array}{lll}
      \displaystyle\sum_{i=1}^n \Delta_i & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
        & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
        & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
        & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l}  - \delta_{i,l}) \\
        & = & 0.
    \end{array}
  \]
   Die bilanzierende Kaffeekasse
   ergibt sich also als
  \( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \).
\end{proof}

\begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
  \label{beob:kaffeparadoxon}
  Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \)
  und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
  Nehmen wir an,
  \(p_2\) hat bisher jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
  Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
  Somit ergibt sich
  \[\kappa = \left(
    \begin{array}{rrr}
       0 &  1 &  1 \\
      -1 &  0 & -1 \\
      -1 &  1 &  0
    \end{array} \right).
  \]
  Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist,
  werden stets genau zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
  ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden,
  damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist.

  Bilden wir zu \(\kappa\) nun die bilanzierende Kaffeekasse \(k\),
  so ergibt sich \(k = (2,-2,0) \).
  Hierbei ist unmittelbar zu erkennen,
  das nur 2 Kaffees benötigt werden,
  um die Kaffeeschulden auszugleichen.
\end{beob}

Dieses Phänomen,
welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen,
lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} erklären.
Die bilanzierende Kaffeekasse
vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
Welche Variante gewählt wird ist Geschmackssache\footnote{%
Im Gegensatz zu heißem, leckeren Kaffee.
Der schmeckt richtig.}
und hängt davon ab,
wie unnötig kompliziert man es gerne möchte.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Visualisierung des Kaffeeproblems
\section{Zweiter Hauptteil}
\label{sec:visualisierung}
Im folgenden stellen wir Möglichkeiten vor,
das Kaffeeproblem für Gruppen aus 2 oder 3 Personen
grafisch darzustellen und zu lösen.

\subsection{Visualisierung des 2-Kaffee-Problems}
\label{ssec:2-kaffee-problem}
Wie bereits in \autoref{beis:2-kaffee-problem} angesprochen,
wird nur eine einzelne Komponente der Kaffeekasse benötigt.
Somit stellen wir die Kaffeekasse
mit einem Kaffeestrahl dar
(\autoref{fig:2-kaffee-problem}).

\begin{figure}[tb]
  \centering
  \includegraphics[scale=.8]{2KaffeeProblem}
  \caption{%
    Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
    In diesem Fall schuldet \(p_1\) \(p_2\)
    noch \(2\) Kaffees.
  }
  \label{fig:2-kaffee-problem}
\end{figure}

\begin{figure}[tb]
  \centering
  \includegraphics[scale=.8]{3KaffeeKartesisch}
  \caption{%
    Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit kartesischen Koordianten.
    Die Darstellung entspricht der Kaffeekasse \(k = (2,-1,-1) \).
  }
  \label{fig:3-kaffee-kartesisch}
\end{figure}

In der Abbildung lässt sich
durch Verschieben des Punktes
der Zustand aktualisieren.
Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt,
also von der ausgebenden Person weg
hin zur empfangenden Person.

\subsection{Visualisierung des 3-Kaffee-Problems}
Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann
für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein
kartesisches Koordinatensystem verwendet werden,
in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
als Koordinaten eingetragen werden
(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}).
Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\)
kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden

Die Aktualisierung der Darstellung muss erfolgen,
indem der Punkt den Änderungen in \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) entsprechend
verschoben wird.
Man kommt hier zuweilen nicht drum herum,
nachzudenken.

Um dieses schwerwiegende Manko zu beheben
bietet sich eine Visualisierung
in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an
(\autoref{fig:3-kaffee-schief}).
Die Achsen schneiden sich hier in einem Winkel von \(60\degree\).
Die Darstellung unterscheidet sich prinzipiell
nicht sonderlich von der Darstellung im orthogonalen Koordinatensystem.
Allerdings ist das Verschieben der Markierung simpler:
um einen ausgegebenen Kaffee einzutragen
muss die Markierung "`mit dem Kaffee"'
von der ausgebenden Person weg
hin zur empfangenen Person verschoben werden.

\begin{figure}[tb]
  \centering
  \includegraphics[scale=.8]{3KaffeeProblem}
  \caption{%
    Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit schiefen Koordinaten.
    Die Darstellung entspricht der Kaffeekasse \(k = (2,-1,-1) \).
  }
  \label{fig:3-kaffee-schief}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Zusammenfassung
\section{Schluss}
\label{sec:zusammenfassung}

In dieser durch die Einleitung eingeleiteten,
durch die beiden Hauptteile angereicherten
und im Schluss abgeschlossenen Arbeit
haben wir das \(n\)-Kaffee-Problem eingeführt,
Probleme an den Haaren herbeigezogen
und schließlich Visualisierungen zu deren Lösung entwickelt.\footnote{%
Visualisierungen, die sich übrigens prima an Whiteboards machen.}
Mit Hilfe des Kaffeesatzes konnten wir Kaffeekassen
auf kleinere Kaffeekassen reduzieren
und so auch komplexere Konstellationen visualisieren.
Wir haben bilanzierende und explizite Kaffeekassen
voneinander abgegrenzt
und das Kaffee-Paradoxon nicht nur entdeckt,
sondern auch aufgeklärt.

Zukünftige Arbeiten könnten die Auswirkungen
des Ein- und Austritts von Personen
zu Kaffeekränzchen
auf die Kaffeekasse klären.
Offen bleibt zunächst auch,
ob man einfache Visualisierungen auch für \(n\)-Kaffeekränzchen
mit \(n > 3\) entwickeln kann.
Des Weiteren hatten wir keine Lust mehr,
weiter nach noch einfacheren Visualisierungen
für \(n < 4\) zu fahnden.
Wir überlassen es dem geneigten wissenschaftlichen Nachwuchs,
darüber Köpfe zu zerbrechen.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% References

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{references}

\end{document}
