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\usepackage{todonotes}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Tolle Definitionen

\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}

\newtheorem{defi}{Definition}
\newtheorem*{beis}{Beispiel}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Dokumentinformationen

\title{Vom Kaffee-Problem}
\author{Nis Börge Wechselberg \and Christoph Daniel Schulze}
\date{September 2014}


\begin{document}
\maketitle


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Abstract

\begin{abstract}
  Das n-Kaffee-Problem
  beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
  in einer Gruppe von \(n\in\) Personen.
  Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
  In dieser Arbeit definieren wir das Problem
  und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel,
  Änderungen in den Verhältnissen
  möglichst aufwandsminimiert notieren zu können.
\end{abstract}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Einleitung
\section{Einleitung}
\label{sec:einleitung}

Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb
wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
aufrecht erhalten.
Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
Heißer, schwarzer Kaffee
kann also als die Grundlage
der wissenschaftlichen Arbeit angesehen werden.\footnote{%
"`Wenn du da Milch reintust ist er doch nicht mehr schwarz, Junge!"' -- Captain Jean-Luc Picard}

Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen
im durch ausufernde Denkprozesse gekennzeichneten Alltag herbeizuführen,
ist das gemeinsame, rudelhafte Beschaffen von heißem Kaffee üblich.
Dabei kommt es immer wieder vor,
dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
in der optimistischen Hoffnung,
den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen.
Während die Schuldenverhältnisse
bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
Zunahme bei größer werdenden Gruppen
ist auch ein von den \emph{Weight Watchers} behandeltes Problem,
ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}

In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
definieren wir zunächst in \autoref{sec:kaffeeproblem}
das \(n\)-Kaffee-Problem,
welches die Frage der Schuldenverhältnisse
zwischen zwei Mitgliedern
einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
bevor wir in \autoref{sec:visualisierung}
einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung}
und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.

\paragraph{Verwandte Arbeiten}
Bla.

\todo[inline]{Verwandte Arbeiten recherchieren.}


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%% Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem
\section{Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem}
\label{sec:kaffeeproblem}

Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
welche das Problem überhaupt tangiert.

\begin{defi}[Kaffeekränzchen]
  Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\)
  für \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
  bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen}
  oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.
\end{defi}

Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
Wichtig ist lediglich,
dass die beteiligten Personen
sich gegenseitig Kaffee ausgeben.

Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch
eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb
der Gruppe zu dokumentieren.

\begin{defi}[Kaffeekasse]
  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und 
  \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
  Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch
  \[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
  Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei
  als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und
  getrunkenen Kaffees.
\end{defi}

Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich
\begin{align*}
  \Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
  \Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
\end{align*}

Mit diesen Definitionen können wir nun das 
allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.

\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
  foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren}
\end{defi}

\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
  Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
  \begin{description}
    \item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
    \item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
    \item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
  \end{description}

	\begin{figure}[hbtp]
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
    \caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
  \end{figure}
\end{beis}

\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
\todo{Formel korrigieren}
  Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
  \[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) = 
    \left\{ \begin{array}{cc}
      (x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\ 
      (x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
    \end{array} \right.
  \]
  Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
\end{defi}

\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
\todo{Text ergänzen}
	\begin{figure}[hbtp]
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
    \caption{}
  \end{figure}
\end{beis}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Visualisierung des Kaffeeproblems
\section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
\label{sec:visualisierung}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Zusammenfassung
\section{Zusammenfassung}
\label{sec:zusammenfassung}

Zusammenfassung des Papers.
Mögliche Future Work:
\begin{itemize}
  \item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren
\end{itemize}


\end{document}