Uni/n-Kaffee-Problem
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Korrekturen und Definition n-Kaffee-Problem. Echt jetzt\!

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Christoph Daniel Schulze 2014-09-14 16:24:05 +02:00
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%% Dokumentinformationen %% Dokumentinformationen
\title{Vom Kaffee-Problem} \title{Vom Kaffee-Problem}
\author{Nis Börge Wechselberg \and Christoph Daniel Schulze} \author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg}
\date{September 2014} \date{September 2014}
@ -119,31 +119,40 @@ Wichtig ist lediglich,
dass die beteiligten Personen dass die beteiligten Personen
sich gegenseitig Kaffee ausgeben. sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
der Gruppe zu dokumentieren.
\begin{defi}[Kaffeekasse] \begin{defi}[Kaffeekasse]
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen. und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
\[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \] \(k= (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei für das gilt:
als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und \[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
getrunkenen Kaffees. Für \(1 \leq i \leq n\)
bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz
der von \(p_i\) getrunkenen und ausgegebenen Kaffees.
\end{defi} \end{defi}
Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
\begin{align*} \begin{align*}
\Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\ \Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
\Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees} \Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
\end{align*} \end{align*}
Mit diesen Definitionen können wir nun das Wir können nun
allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren. das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem] \begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren} Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
und \(k\) eine Kaffeekasse
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
Gegeben zwei Personen \(p_i,p_j \in K\),
die einen Kaffee zusammen trinken wollen.
Das \(n\)-Kaffee-Problem besteht darin,
zu entscheiden,
ob \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgeben muss
oder umgekehrt.
\end{defi} \end{defi}
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem] \begin{beis}[2-Kaffee-Problem]