Uni/n-Kaffee-Problem
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Nis Börge Wechselberg 2014-11-20 09:08:39 +01:00
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.gitignore vendored
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# project files should be checked into the repository, unless a significant
# proportion of contributors will probably not be using SublimeText
# *.sublime-project
# sftp configuration file
sftp-config.json
### LaTeX ###
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*.acr
*.alg
*.aux *.aux
*.log *.bbl
*.synctex.gz *.blg
*.dvi
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*.glg
*.glo
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*.idx
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*.mtc0
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*.nlo
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*.snm
*.synctex.gz
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2KaffeeProblem.pdf
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54
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48
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70
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x="342.4827" x="348.4827"
y="262.86191" y="264.86191"
style="font-size:28px">p<tspan style="font-size:28px"><tspan
style="font-size:65.00091553%;baseline-shift:sub" style="font-size:14px"
id="tspan3055">p</tspan><tspan
style="font-size:10px;baseline-shift:sub"
id="tspan4939">2</tspan></tspan></text> id="tspan4939">2</tspan></tspan></text>
<text <text
xml:space="preserve" xml:space="preserve"
@ -459,8 +465,10 @@
id="tspan4663" id="tspan4663"
x="593.86914" x="593.86914"
y="490.21945" y="490.21945"
style="font-size:22px">Δ<tspan style="font-size:22px"><tspan
style="font-size:22px;baseline-shift:sub" style="font-size:14px"
id="tspan3063">Δ</tspan><tspan
style="font-size:10px;baseline-shift:sub"
id="tspan4665">1</tspan></tspan></text> id="tspan4665">1</tspan></tspan></text>
<text <text
xml:space="preserve" xml:space="preserve"
@ -473,8 +481,10 @@
id="tspan4663-1" id="tspan4663-1"
x="471.72629" x="471.72629"
y="270.21948" y="270.21948"
style="font-size:22px">Δ<tspan style="font-size:22px"><tspan
style="font-size:22px;baseline-shift:sub" style="font-size:14px"
id="tspan3061">Δ</tspan><tspan
style="font-size:10px;baseline-shift:sub"
id="tspan4665-9">2</tspan></tspan></text> id="tspan4665-9">2</tspan></tspan></text>
</g> </g>
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@ -51,7 +51,7 @@
\begin{abstract} \begin{abstract}
Das n-Kaffee-Problem Das n-Kaffee-Problem
beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
in einer Gruppe von \(n\in\) Personen. in einer Gruppe von \(n\in\naturals\) Personen.
Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert. Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
In dieser Arbeit definieren wir das Problem In dieser Arbeit definieren wir das Problem
und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel, und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel,
@ -116,7 +116,9 @@ Bla.
Um das Kaffee-Problem betrachten zu können, Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren, müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
die das Problem überhaupt interessiert. die das Problem überhaupt interessiert.\footnote{%
Hierzu gehört offenbar der Leser,
sonst würde er diesen Stuss ja nicht lesen}
\begin{defi}[Kaffeekränzchen] \begin{defi}[Kaffeekränzchen]
\label{def:kaffeekraenzchen} \label{def:kaffeekraenzchen}
@ -159,14 +161,17 @@ Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus, Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln. müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
\begin{defi}[Kaffeekassentransition] % \begin{defi}[kaffeekassentransitionition]
\begin{defi}[Kaffeekassensturz]
\label{def:kaffeekassentransition} \label{def:kaffeekassentransition}
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\), Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen, \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
\(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse \(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so, sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt. dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
Die Kaffeekassentransition liefert zu \(k\) % Die Kaffeekassentransition
Der Kaffeekassensturz
liefert zu \(k\)
eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
\[ \Delta_x' = \left\{ \[ \Delta_x' = \left\{
\begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
@ -267,25 +272,30 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \) \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
\item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \) \item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
\end{enumerate} \end{enumerate}
Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{ij}$ wie folgt: Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
\begin{align*} \begin{align*}
\delta_{ij} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\ \delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
\delta_{ij} = 0 &: \enspace \text{Niemand hat Kaffeeschulden.} \\ \delta_{i,j} = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeebilanz zwischen }p_i\text{ und }p_j\text{ ist ausgeglichen.} \\
\delta_{ij} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.} \delta_{i,j} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
\end{align*} \end{align*}
\end{defi} \end{defi}
Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir die Transistion Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir
% die Transition
den Kassensturz
analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition] % \begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
\begin{defi}[Expliziter Kaffeekassensturz]
\label{def:explizitekaffeekassentransition} \label{def:explizitekaffeekassentransition}
Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\), Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
\(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\), \(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
\(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so, sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt. dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
Die explizite Kaffeekassentransition liefert zu \(\kappa\) % Die explizite Kaffeekassentransition
Der explizite Kaffeekassensturz
liefert zu \(\kappa\)
eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
\[ \delta_{k,l}' = \left\{ \[ \delta_{k,l}' = \left\{
\begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
@ -315,7 +325,8 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
\begin{beob}[Kaffeeparadoxon] \begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
\label{beob:kaffeparadoxon} \label{beob:kaffeparadoxon}
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \) Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \)
und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\). Bisher hat \(p_2\) und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher
jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt. jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben. Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
Somit ergibt sich Somit ergibt sich
@ -333,8 +344,9 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
Bilden wir zu \(\kappa\) nun die bilanzierende Kaffeekasse \(k\), Bilden wir zu \(\kappa\) nun die bilanzierende Kaffeekasse \(k\),
so ergibt sich \(k = (2,-2,0) \). so ergibt sich \(k = (2,-2,0) \).
Hierbei ist zu erkennen, das nur 2 Kaffees benötigt werden, um die Kaffeeschulden Hierbei ist unmittelbar zu erkennen,
auszugleichen. das nur 2 Kaffees benötigt werden,
um die Kaffeeschulden auszugleichen.
Dieses Phänomen, welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, lässt sich Dieses Phänomen, welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, lässt sich
in dem Auftreten von \emph{transitiven Kaffeeschulden} begründen. in dem Auftreten von \emph{transitiven Kaffeeschulden} begründen.
@ -383,7 +395,7 @@ als Koordinaten eingetragen werden.
\begin{figure}[htbp] \begin{figure}[htbp]
\centering \centering
\includegraphics[width=.7\textwidth]{3KaffeeKartesisch} \includegraphics[scale=.6]{3KaffeeKartesisch}
\caption{% \caption{%
Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit kartesischen Koordianten. Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit kartesischen Koordianten.
} }
@ -410,7 +422,7 @@ zur Zeit liegt.
\begin{figure}[htbp] \begin{figure}[htbp]
\centering \centering
\includegraphics[width=.7\textwidth]{3KaffeeProblem} \includegraphics[scale=.6]{3KaffeeProblem}
\caption{% \caption{%
Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit schiefen Koordianten Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit schiefen Koordianten
} }
@ -420,16 +432,15 @@ zur Zeit liegt.
Als alternative Darstellung kann ein Als alternative Darstellung kann ein
geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem
gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief} gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief}
In diesem System schneiden sich die schneiden sich die Achsen
Achsen mit einem Winkel von 60\degree. mit einem Winkel von 60\degree.
Bei korrekter Beschriftung der Seiten, können hier Bei dieser Art des Koordinatensystems
die selben Koordinaten verwendet werden, können die selben Koordinaten verwendet werden,
die bereits im kartesischen Koordinatensystem die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden.
bereechnet wurden. Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten
Allerdings können hier die Personen an den Seiten
plaziert werden, um eine einfacher Transition plaziert werden, um eine einfacher Transition
zu ermöglichen. zu ermöglichen.
Auch hier kann nun die Markierung wieder Nun kann hier auch die Markierung wieder
``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg ``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg
und auf die empfangende Person zu, verschoben werden. und auf die empfangende Person zu, verschoben werden.

2
n-kaffee-problem.sublime-project Normal file
View file

@ -0,0 +1,2 @@
{
}