Uni/n-Kaffee-Problem
1
0
Fork 0
Code Issues Releases Activity

Adjusted proof to theorem 2

Browse source
This commit is contained in:
Nis Börge Wechselberg 2014-11-29 17:08:31 +01:00
parent aa683a22d8
commit 9c71046a01
2 changed files with 18 additions and 16 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

BIN
main.pdf
View file

Binary file not shown.

34
main.tex
View file

@ -74,7 +74,7 @@ welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{% Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{%
Wenn man da Milch reintut ist er nicht mehr schwarz, Junge!} Wenn man da Milch reintut ist er nicht mehr schwarz, Junge!}
kann also völlig zu Recht als das Fundament kann also völlig zu Recht als das Fundament
des Fortschritts der Menschheit menschlichen Fortschitts
angesehen werden. angesehen werden.
Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen
@ -214,7 +214,7 @@ Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat, einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat,
dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\). dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
Es lässt sich leicht erkennen, Es lässt sich leicht erkennen,
dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss. dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
Somit können wir ohne Informationsverlust die Somit können wir ohne Informationsverlust die
zweite Komponente der Kaffekasse vernachlässigen zweite Komponente der Kaffekasse vernachlässigen
@ -261,11 +261,11 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens. modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden. Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden, Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden. in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse] \begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
\label{def:explizitekaffeekasse} \label{def:explizitekaffeekasse}
Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen. Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix
\( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt: \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt:
@ -281,7 +281,7 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
\end{align*} \end{align*}
\end{defi} \end{defi}
Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir
% die Transition % die Transition
den Kassensturz den Kassensturz
analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}. analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
@ -309,28 +309,30 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
\end{defi} \end{defi}
\begin{satz} \begin{satz}
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende, und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende,
bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse. bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
und \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. und \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\) Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun
\[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \] \[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
Dann ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als Dann gilt
\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \). \[ \sum_ \]
ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als
\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \)
\end{proof} \end{proof}
\begin{beob}[Kaffeeparadoxon] \begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
\label{beob:kaffeparadoxon} \label{beob:kaffeparadoxon}
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \) Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \)
und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\). und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher
jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt. jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben. Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
Somit ergibt sich Somit ergibt sich
\[\kappa = \left( \[\kappa = \left(
\begin{array}{rrr} \begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\
@ -434,14 +436,14 @@ Als alternative Darstellung kann ein
geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem
gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief} gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief}
schneiden sich die Achsen schneiden sich die Achsen
mit einem Winkel von 60\degree. mit einem Winkel von 60\degree.
Bei dieser Art des Koordinatensystems Bei dieser Art des Koordinatensystems
können die selben Koordinaten verwendet werden, können die selben Koordinaten verwendet werden,
die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden. die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden.
Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten
plaziert werden, um eine einfacher Transition plaziert werden, um eine einfacher Transition
zu ermöglichen. zu ermöglichen.
Nun kann hier auch die Markierung wieder Nun kann hier auch die Markierung wieder
``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg ``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg
und auf die empfangende Person zu, verschoben werden. und auf die empfangende Person zu, verschoben werden.