Uni/n-Kaffee-Problem
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Nis Börge Wechselberg 2014-11-29 17:34:49 +01:00
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@ -267,7 +267,7 @@ Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
von wem sie noch Kaffees bekommt von wem sie noch Kaffees bekommt
oder wem sie Kaffees schuldet. oder wem sie Kaffees schuldet.
Die Kaffeekasse ist also eine \emph{bilanzierende Kaffeekasse}. Die Kaffeekasse ist also eine \emph{bilanzierende Kaffeekasse}.
Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden, Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden,
in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden. in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse] \begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
@ -315,7 +315,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
\end{defi} \end{defi}
\begin{satz}[Bilanzierender Kaffeekassenexplikationssatz] \begin{satz}[Bilanzierender Kaffeekassenexplikationssatz]
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen
und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
Dann existiert eine entsprechende Dann existiert eine entsprechende
bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse. bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
@ -326,20 +326,29 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\) Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun
\[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \] \[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
Dann gilt Trivialerweise gilt
\[ \sum_ \] \[
ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als \begin{array}{lll}
\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \) \sum\limits_{i=1}^n \Delta_i & = & \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\
& = & 0.
\end{array}
\]
Und die bilanzierende Kaffeekasse
ergibt sich also als
\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \).
\end{proof} \end{proof}
\begin{beob}[Kaffeeparadoxon] \begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
\label{beob:kaffeparadoxon} \label{beob:kaffeparadoxon}
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \) Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \)
und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\). und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher
jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt. jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben. Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
Somit ergibt sich Somit ergibt sich
\[\kappa = \left( \[\kappa = \left(
\begin{array}{rrr} \begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\
@ -443,14 +452,14 @@ Als alternative Darstellung kann ein
geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem
gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief} gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief}
schneiden sich die Achsen schneiden sich die Achsen
mit einem Winkel von 60\degree. mit einem Winkel von 60\degree.
Bei dieser Art des Koordinatensystems Bei dieser Art des Koordinatensystems
können die selben Koordinaten verwendet werden, können die selben Koordinaten verwendet werden,
die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden. die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden.
Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten
plaziert werden, um eine einfacher Transition plaziert werden, um eine einfacher Transition
zu ermöglichen. zu ermöglichen.
Nun kann hier auch die Markierung wieder Nun kann hier auch die Markierung wieder
``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg ``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg
und auf die empfangende Person zu, verschoben werden. und auf die empfangende Person zu, verschoben werden.