Uni/n-Kaffee-Problem
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Finalized proof to theorem 2

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Nis Börge Wechselberg 2014-11-29 17:34:49 +01:00
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@ -326,10 +326,19 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun
\[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
Dann gilt
\[ \sum_ \]
ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als
\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \)
Trivialerweise gilt
\[
\begin{array}{lll}
\sum\limits_{i=1}^n \Delta_i & = & \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\
& = & 0.
\end{array}
\]
Und die bilanzierende Kaffeekasse
ergibt sich also als
\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \).
\end{proof}
\begin{beob}[Kaffeeparadoxon]