Explizite Kaffeekasse definiert

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@@ -196,17 +196,22 @@ formalisiert exakt diese Fragestellung.
 Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
 
 \begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
-  Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt,
-  lässt sich das \(2\)-Kaffee-Problem
-  mit Hilfe einer Zahl \( x \in \integers \) beschreiben. Hierbei gilt:
+  Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und
+  \(k\) eine K-Kaffeekasse.
+  Nehmen wir an, dass bisher \(p_1\) zweimal
+  einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat,
+  dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
+
+  Es lässt sich leicht erkennen, 
+  dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
+  Somit können wir ohne Informationsverlust die
+  zweite Komponente der Kaffekasse vernachlässigen
+  und nur noch $\Delta_1$ betrachten. Hierbei gilt:
   \begin{align*}
-    x=0   &: \enspace \text{Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
-    x > 0 &: \enspace p_0 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } x \text{ Kaffees.} \\
-    x < 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_0 \text{ noch } |x| \text{ Kaffees.}
+    \Delta_1 < 0 &: \enspace p_2 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } |\Delta_1| \text{ Kaffees.} \\
+    \Delta_1 = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeekasse ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
+    \Delta_1 > 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_2 \text{ noch } \Delta_1 \text{ Kaffees.}
   \end{align*}
-  Die Zahl \(x\) kann aufgefasst werden
-  als \(\Delta_1\) in der Kaffeekasse.
-  \(\Delta_2\) wird nicht benötigt.
 \end{beis}
 
 Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
@@ -237,30 +242,47 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
 
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-%% Bilanzierende Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon
-\subsection{Bilanzierende Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
+%% Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon
+\subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
 \label{sub:kaffeeparadoxon}
 
-\todo[inline]{Die Unterscheidung zwischen bilanzierenden und expliziten Kaffeekassen einführen.
-Das Kaffeeparadoxon beschreiben und auflösen.}
+Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
+modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
+Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
+Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
+in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
+
+\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
+  Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
+  Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Menge
+  \[ k = \{ \delta_{ij} \in \integers | i,j \in \naturals_{\leq n} , i < j \} \]
+  Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{ij}$ wie folgt:
+  \begin{align*}
+    \delta_{ij} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
+    \delta_{ij} = 0 &: \enspace \text{Niemand hat Kaffeeschulden.} \\
+    \delta_{ij} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
+  \end{align*}
+\end{defi}
 
 
 
+Hierdurch werden sogenannte \emph{transitive Kaffeeschulden} vermieden.
+
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %% Visualisierung des Kaffeeproblems
 \section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
 \label{sec:visualisierung}
 
-\begin{figure}
-  \centering
-  \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
-  \caption{%
-    Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
-    In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\)
-    genau \(2\) Kaffees.
-  }
-  \label{fig:2_kaffee_problem}
-\end{figure}
+% \begin{figure}
+%   \centering
+%   \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
+%   \caption{%
+%     Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
+%     In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\)
+%     genau \(2\) Kaffees.
+%   }
+%   \label{fig:2_kaffee_problem}
+% \end{figure}