Mehr Text, genauere Definitionen, Kaffeetransition, Kaffeesatz. KAFFEESATZ!!!

main.tex

@@ -18,9 +18,13 @@
 \newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
 
 \newtheorem{defi}{Definition}
+\newcommand{\defiautorefname}{Definition}
 \newtheorem{koro}{Korollar}
+\newcommand{\koroautorefname}{Korollar}
 \newtheorem{lemma}{Lemma}
+\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
 \newtheorem{satz}{Satz}
+\newcommand{\satzautorefname}{Satz}
 \newtheorem*{beis}{Beispiel}
 
 
@@ -107,13 +111,16 @@ Bla.
 
 Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
 müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
-welche das Problem überhaupt tangiert.
+die das Problem überhaupt interessiert.
 
 \begin{defi}[Kaffeekränzchen]
+  \label{def:kaffeekraenzchen}
   Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\)
   für \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
   bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen}
-  oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.
+  oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.\footnote{%
+    Man könnte in der Definition des Kaffeekränzchens sicherlich auch \(n=1\) zulassen,
+    aber das ist uns zu traurig.}
 \end{defi}
 
 Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
@@ -126,10 +133,11 @@ Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
 die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
 
 \begin{defi}[Kaffeekasse]
+  \label{def:kaffeekasse}
   Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
   und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
   Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
-  \(k= (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
+  \(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
   für das gilt:
   \[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
   Für \(1 \leq i \leq n\)
@@ -139,14 +147,41 @@ die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
 
 Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
 \begin{align*}
-  \Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
-  \Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
+  \Delta_i < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
+  \Delta_i > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
 \end{align*}
 
-Wir können nun
-das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
+Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
+müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
+
+\begin{defi}[Kaffeekassentransition]
+  \label{def:kaffeekassentransition}
+  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
+  \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
+  \(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
+  sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
+  dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
+  Die Kaffeekassentransition liefert zu \(k\)
+  eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
+  \[ \Delta_x' = \left\{
+    \begin{array}{ll}
+      \Delta_x - 1 & \text{, falls } x=i \\
+      \Delta_x + 1 & \text{, falls } x=j \\
+      \Delta_x     &  \text{, sonst}
+    \end{array} \right.
+  \]
+  für \(x \in {[n]}\).
+\end{defi}
+
+Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
+um sich gegenseitig Kaffess auszugeben,
+ist immer wieder die Frage zu klären,
+wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.
+Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
+formalisiert exakt diese Fragestellung.
 
 \begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
+  \label{def:kaffee_problem}
   Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
   und \(k\) eine Kaffeekasse
   über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
@@ -158,16 +193,46 @@ das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
   oder umgekehrt.
 \end{defi}
 
-Betrachtet man die Anforderung an die Kaffeekasse,
-dass die Summe über die Kaffee-Deltas \(0\) sein soll,
-fällt eine Vereinfachungsmöglichkeit auf.
+Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
 
-\begin{satz}
+\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
+  Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt,
+  lässt sich das \(2\)-Kaffee-Problem
+  mit Hilfe einer Zahl \( x \in \integers \) beschreiben. Hierbei gilt:
+  \begin{align*}
+    x=0   &: \enspace \text{Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
+    x > 0 &: \enspace p_0 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } x \text{ Kaffees.} \\
+    x < 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_0 \text{ noch } |x| \text{ Kaffees.}
+  \end{align*}
+  Die Zahl \(x\) kann aufgefasst werden
+  als \(\Delta_1\) in der Kaffeekasse.
+  \(\Delta_2\) wird nicht benötigt.
+\end{beis}
+
+Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
+funktioniert nicht nur für \(n=2\),
+sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\).
+Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
+
+\begin{satz}[Kaffeesatz]
+  \label{satz:kaffeesatz}
+  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
+  und \(k\) eine Kaffeekasse
+  über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
   Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
   genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Ist noch zu formulieren.
+  Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
+  \[
+    \begin{array}{lll}
+                      & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} + \Delta_n     &= 0         \\
+      \Leftrightarrow & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1}                &= {-\Delta_n}
+    \end{array}
+  \]
+  Das Kaffeedelta \(\Delta_n\)
+  lässt sich also aus den übrigen Kaffeedeltas direkt berechnen
+  und braucht daher nicht explizit in der Kaffeekasse geführt zu werden.
 \end{proof}
 
 
@@ -186,32 +251,17 @@ Das Kaffeeparadoxon beschreiben und auflösen.}
 \section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
 \label{sec:visualisierung}
 
-\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
-  Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
-  \begin{description}
-    \item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
-    \item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
-    \item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
-  \end{description}
+\begin{figure}
+  \centering
+  \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
+  \caption{%
+    Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
+    In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\)
+    genau \(2\) Kaffees.
+  }
+  \label{fig:2_kaffee_problem}
+\end{figure}
 
-	\begin{figure}[hbtp]
-    \centering
-    \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
-    \caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
-  \end{figure}
-\end{beis}
-
-\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
-\todo{Formel korrigieren}
-  Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
-  \[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) = 
-    \left\{ \begin{array}{cc}
-      (x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\ 
-      (x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
-    \end{array} \right.
-  \]
-  Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
-\end{defi}
 
 
 
@@ -226,6 +276,7 @@ Zusammenfassung des Papers.
 Mögliche Future Work:
 \begin{itemize}
   \item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren
+  \item Wir haben noch keinen Beweis dafür, dass die Visualisierung in einem Dreieck unmöglich oder zumindest blöd ist.
 \end{itemize}