Mehr Text, genauere Definitionen, Kaffeetransition, Kaffeesatz. KAFFEESATZ!!!

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@ -18,9 +18,13 @@
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newtheorem{defi}{Definition}
\newcommand{\defiautorefname}{Definition}
\newtheorem{koro}{Korollar}
\newcommand{\koroautorefname}{Korollar}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
\newtheorem{satz}{Satz}
\newcommand{\satzautorefname}{Satz}
\newtheorem*{beis}{Beispiel}
@ -107,13 +111,16 @@ Bla.
Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
welche das Problem überhaupt tangiert.
die das Problem überhaupt interessiert.
\begin{defi}[Kaffeekränzchen]
\label{def:kaffeekraenzchen}
Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\)
für \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen}
oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.
oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.\footnote{%
Man könnte in der Definition des Kaffeekränzchens sicherlich auch \(n=1\) zulassen,
aber das ist uns zu traurig.}
\end{defi}
Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
@ -126,10 +133,11 @@ Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
\begin{defi}[Kaffeekasse]
\label{def:kaffeekasse}
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
\(k= (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
\(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
für das gilt:
\[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
Für \(1 \leq i \leq n\)
@ -139,14 +147,41 @@ die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
\begin{align*}
\Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
\Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
\Delta_i < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
\Delta_i > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
\end{align*}
Wir können nun
das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
\begin{defi}[Kaffeekassentransition]
\label{def:kaffeekassentransition}
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
\(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
Die Kaffeekassentransition liefert zu \(k\)
eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
\[ \Delta_x' = \left\{
\begin{array}{ll}
\Delta_x - 1 & \text{, falls } x=i \\
\Delta_x + 1 & \text{, falls } x=j \\
\Delta_x & \text{, sonst}
\end{array} \right.
\]
für \(x \in {[n]}\).
\end{defi}
Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
um sich gegenseitig Kaffess auszugeben,
ist immer wieder die Frage zu klären,
wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.
Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
formalisiert exakt diese Fragestellung.
\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
\label{def:kaffee_problem}
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
und \(k\) eine Kaffeekasse
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
@ -158,16 +193,46 @@ das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
oder umgekehrt.
\end{defi}
Betrachtet man die Anforderung an die Kaffeekasse,
dass die Summe über die Kaffee-Deltas \(0\) sein soll,
fällt eine Vereinfachungsmöglichkeit auf.
Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
\begin{satz}
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt,
lässt sich das \(2\)-Kaffee-Problem
mit Hilfe einer Zahl \( x \in \integers \) beschreiben. Hierbei gilt:
\begin{align*}
x=0 &: \enspace \text{Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
x > 0 &: \enspace p_0 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } x \text{ Kaffees.} \\
x < 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_0 \text{ noch } |x| \text{ Kaffees.}
\end{align*}
Die Zahl \(x\) kann aufgefasst werden
als \(\Delta_1\) in der Kaffeekasse.
\(\Delta_2\) wird nicht benötigt.
\end{beis}
Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
funktioniert nicht nur für \(n=2\),
sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\).
Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
\begin{satz}[Kaffeesatz]
\label{satz:kaffeesatz}
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
und \(k\) eine Kaffeekasse
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
\end{satz}
\begin{proof}
Ist noch zu formulieren.
Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
\[
\begin{array}{lll}
& \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} + \Delta_n &= 0 \\
\Leftrightarrow & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} &= {-\Delta_n}
\end{array}
\]
Das Kaffeedelta \(\Delta_n\)
lässt sich also aus den übrigen Kaffeedeltas direkt berechnen
und braucht daher nicht explizit in der Kaffeekasse geführt zu werden.
\end{proof}
@ -186,32 +251,17 @@ Das Kaffeeparadoxon beschreiben und auflösen.}
\section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
\label{sec:visualisierung}
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
\begin{description}
\item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
\item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
\item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
\end{description}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
\caption{%
Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\)
genau \(2\) Kaffees.
}
\label{fig:2_kaffee_problem}
\end{figure}
\begin{figure}[hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
\caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
\end{figure}
\end{beis}
\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
\todo{Formel korrigieren}
Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
\[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) =
\left\{ \begin{array}{cc}
(x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\
(x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
\end{array} \right.
\]
Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
\end{defi}
@ -226,6 +276,7 @@ Zusammenfassung des Papers.
Mögliche Future Work:
\begin{itemize}
\item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren
\item Wir haben noch keinen Beweis dafür, dass die Visualisierung in einem Dreieck unmöglich oder zumindest blöd ist.
\end{itemize}