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\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{hyperref}
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\usepackage{todonotes}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%% Tolle Definitionen
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\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
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\newtheorem{defi}{Definition}
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\newcommand{\defiautorefname}{Definition}
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\newtheorem{koro}{Korollar}
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\newcommand{\koroautorefname}{Korollar}
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\newtheorem{lemma}{Lemma}
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\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
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\newtheorem{satz}{Satz}
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\newcommand{\satzautorefname}{Satz}
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\newtheorem*{beis}{Beispiel}
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%% Dokumentinformationen
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\title{Vom Kaffee-Problem}
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\author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg}
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\date{September 2014}
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\begin{document}
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\maketitle
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%% Abstract
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\begin{abstract}
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Das n-Kaffee-Problem
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beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
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in einer Gruppe von \(n\in\) Personen.
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Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
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In dieser Arbeit definieren wir das Problem
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und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel,
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Änderungen in den Verhältnissen
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möglichst aufwandsminimiert notieren zu können.
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\end{abstract}
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|
%% Einleitung
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\section{Einleitung}
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\label{sec:einleitung}
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Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb
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wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
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also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
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aufrecht erhalten.
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Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
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welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
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Heißer, schwarzer Kaffee
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kann also als die Grundlage
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der wissenschaftlichen Arbeit angesehen werden.\footnote{%
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"`Wenn du da Milch reintust ist er doch nicht mehr schwarz, Junge!"' -- Captain Jean-Luc Picard}
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Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen
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im durch ausufernde Denkprozesse gekennzeichneten Alltag herbeizuführen,
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ist das gemeinsame, rudelhafte Beschaffen von heißem Kaffee üblich.
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Dabei kommt es immer wieder vor,
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dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
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Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
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in der optimistischen Hoffnung,
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den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen.
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Während die Schuldenverhältnisse
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bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
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ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
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Zunahme bei größer werdenden Gruppen
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ist auch ein von den \emph{Weight Watchers} behandeltes Problem,
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ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}
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In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
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definieren wir zunächst in \autoref{sec:kaffeeproblem}
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das \(n\)-Kaffee-Problem,
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welches die Frage der Schuldenverhältnisse
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zwischen zwei Mitgliedern
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einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
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Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
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bevor wir in \autoref{sec:visualisierung}
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einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
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Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung}
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und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.
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\paragraph{Verwandte Arbeiten}
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Bla.
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\todo[inline]{Verwandte Arbeiten recherchieren.}
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%% Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem
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\section{Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem}
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\label{sec:kaffeeproblem}
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Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
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müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
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die das Problem überhaupt interessiert.
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\begin{defi}[Kaffeekränzchen]
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\label{def:kaffeekraenzchen}
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Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\)
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für \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
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bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen}
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oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.\footnote{%
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|
Man könnte in der Definition des Kaffeekränzchens sicherlich auch \(n=1\) zulassen,
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|
aber das ist uns zu traurig.}
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\end{defi}
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Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
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ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
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Wichtig ist lediglich,
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dass die beteiligten Personen
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sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
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Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
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die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
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\begin{defi}[Kaffeekasse]
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\label{def:kaffeekasse}
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Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
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und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
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Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
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\(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
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für das gilt:
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\[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
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Für \(1 \leq i \leq n\)
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bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz
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der von \(p_i\) getrunkenen und ausgegebenen Kaffees.
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\end{defi}
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Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
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\begin{align*}
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\Delta_i < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
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\Delta_i > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
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|
\end{align*}
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Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
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müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
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\begin{defi}[Kaffeekassentransition]
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\label{def:kaffeekassentransition}
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|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
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\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
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\(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
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sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
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dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
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Die Kaffeekassentransition liefert zu \(k\)
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eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
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\[ \Delta_x' = \left\{
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\begin{array}{ll}
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|
\Delta_x - 1 & \text{, falls } x=i \\
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|
\Delta_x + 1 & \text{, falls } x=j \\
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|
\Delta_x & \text{, sonst}
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\end{array} \right.
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\]
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für \(x \in {[n]}\).
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\end{defi}
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Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
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um sich gegenseitig Kaffess auszugeben,
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ist immer wieder die Frage zu klären,
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wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.
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Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
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formalisiert exakt diese Fragestellung.
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\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
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\label{def:kaffee_problem}
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Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
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|
und \(k\) eine Kaffeekasse
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über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
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Gegeben zwei Personen \(p_i,p_j \in K\),
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die einen Kaffee zusammen trinken wollen.
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Das \(n\)-Kaffee-Problem besteht darin,
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zu entscheiden,
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ob \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgeben muss
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oder umgekehrt.
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\end{defi}
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Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
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\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
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Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt,
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lässt sich das \(2\)-Kaffee-Problem
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mit Hilfe einer Zahl \( x \in \integers \) beschreiben. Hierbei gilt:
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\begin{align*}
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x=0 &: \enspace \text{Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
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x > 0 &: \enspace p_0 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } x \text{ Kaffees.} \\
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x < 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_0 \text{ noch } |x| \text{ Kaffees.}
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|
\end{align*}
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Die Zahl \(x\) kann aufgefasst werden
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als \(\Delta_1\) in der Kaffeekasse.
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\(\Delta_2\) wird nicht benötigt.
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\end{beis}
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Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
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funktioniert nicht nur für \(n=2\),
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sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\).
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Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
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\begin{satz}[Kaffeesatz]
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\label{satz:kaffeesatz}
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|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
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|
und \(k\) eine Kaffeekasse
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|
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
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Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
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genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
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\[
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\begin{array}{lll}
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& \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} + \Delta_n &= 0 \\
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\Leftrightarrow & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} &= {-\Delta_n}
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|
\end{array}
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\]
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Das Kaffeedelta \(\Delta_n\)
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lässt sich also aus den übrigen Kaffeedeltas direkt berechnen
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und braucht daher nicht explizit in der Kaffeekasse geführt zu werden.
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\end{proof}
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%% Bilanzierende Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon
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\subsection{Bilanzierende Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
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\label{sub:kaffeeparadoxon}
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\todo[inline]{Die Unterscheidung zwischen bilanzierenden und expliziten Kaffeekassen einführen.
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|
Das Kaffeeparadoxon beschreiben und auflösen.}
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%% Visualisierung des Kaffeeproblems
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\section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
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\label{sec:visualisierung}
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\begin{figure}
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|
\centering
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|
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
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|
\caption{%
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|
Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
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|
In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\)
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|
genau \(2\) Kaffees.
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|
}
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|
\label{fig:2_kaffee_problem}
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|
\end{figure}
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|
%% Zusammenfassung
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\section{Zusammenfassung}
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\label{sec:zusammenfassung}
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|
Zusammenfassung des Papers.
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Mögliche Future Work:
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\begin{itemize}
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|
\item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren
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|
\item Wir haben noch keinen Beweis dafür, dass die Visualisierung in einem Dreieck unmöglich oder zumindest blöd ist.
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\end{itemize}
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|
\end{document}
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