Explizite Kaffeekasse definiert

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@ -196,17 +196,22 @@ formalisiert exakt diese Fragestellung.
Betrachten wir das Beispiel \(n=2\). Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem] \begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und
lässt sich das \(2\)-Kaffee-Problem \(k\) eine K-Kaffeekasse.
mit Hilfe einer Zahl \( x \in \integers \) beschreiben. Hierbei gilt: Nehmen wir an, dass bisher \(p_1\) zweimal
einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat,
dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
Es lässt sich leicht erkennen,
dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
Somit können wir ohne Informationsverlust die
zweite Komponente der Kaffekasse vernachlässigen
und nur noch $\Delta_1$ betrachten. Hierbei gilt:
\begin{align*} \begin{align*}
x=0 &: \enspace \text{Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\ \Delta_1 < 0 &: \enspace p_2 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } |\Delta_1| \text{ Kaffees.} \\
x > 0 &: \enspace p_0 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } x \text{ Kaffees.} \\ \Delta_1 = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeekasse ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
x < 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_0 \text{ noch } |x| \text{ Kaffees.} \Delta_1 > 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_2 \text{ noch } \Delta_1 \text{ Kaffees.}
\end{align*} \end{align*}
Die Zahl \(x\) kann aufgefasst werden
als \(\Delta_1\) in der Kaffeekasse.
\(\Delta_2\) wird nicht benötigt.
\end{beis} \end{beis}
Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
@ -237,30 +242,47 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Bilanzierende Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon %% Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon
\subsection{Bilanzierende Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon} \subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
\label{sub:kaffeeparadoxon} \label{sub:kaffeeparadoxon}
\todo[inline]{Die Unterscheidung zwischen bilanzierenden und expliziten Kaffeekassen einführen. Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
Das Kaffeeparadoxon beschreiben und auflösen.} modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Menge
\[ k = \{ \delta_{ij} \in \integers | i,j \in \naturals_{\leq n} , i < j \} \]
Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{ij}$ wie folgt:
\begin{align*}
\delta_{ij} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
\delta_{ij} = 0 &: \enspace \text{Niemand hat Kaffeeschulden.} \\
\delta_{ij} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
\end{align*}
\end{defi}
Hierdurch werden sogenannte \emph{transitive Kaffeeschulden} vermieden.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Visualisierung des Kaffeeproblems %% Visualisierung des Kaffeeproblems
\section{Visualisierung des Kaffeeproblems} \section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
\label{sec:visualisierung} \label{sec:visualisierung}
\begin{figure} % \begin{figure}
\centering % \centering
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem} % \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
\caption{% % \caption{%
Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems. % Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\) % In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\)
genau \(2\) Kaffees. % genau \(2\) Kaffees.
} % }
\label{fig:2_kaffee_problem} % \label{fig:2_kaffee_problem}
\end{figure} % \end{figure}