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@ -9,7 +9,7 @@
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@ -96,8 +96,8 @@
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@ -381,5 +382,65 @@
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|
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|
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|
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|
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|
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x="214.40269"
|
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|
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|
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|
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|
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x="214.10271"
|
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@ -486,19 +486,5 @@
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<text
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|
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|
||||
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|
||||
x="231.72629"
|
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|
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BIN
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164
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@ -43,7 +43,7 @@
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||||
\title{Vom Kaffee-Problem}
|
||||
\author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg}
|
||||
\date{September 2014}
|
||||
\date{Dezember 2014}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
|
@ -54,7 +54,7 @@
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|||
%% Abstract
|
||||
|
||||
\begin{abstract}
|
||||
Das n-Kaffee-Problem
|
||||
Das \(n\)-Kaffee-Problem
|
||||
beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
|
||||
in einer Gruppe von \(n\in\naturals\) Personen.
|
||||
Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
|
||||
|
|
@ -70,12 +70,12 @@
|
|||
\section{Einleitung}
|
||||
\label{sec:einleitung}
|
||||
|
||||
Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb
|
||||
Der normale universitäre Wissenschaftsbetrieb
|
||||
wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
|
||||
also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
|
||||
aufrecht erhalten.
|
||||
Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
|
||||
welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
|
||||
welche \emph{Kaffee} in \emph{Theoreme} verstoffwechseln.
|
||||
Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{%
|
||||
Wenn man da Milch reintut ist er aber nicht mehr schwarz.}
|
||||
kann also völlig zu Recht als das Fundament
|
||||
|
|
@ -91,7 +91,7 @@ Dabei kommt es immer wieder vor,
|
|||
dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
|
||||
Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
|
||||
in der optimistischen Hoffnung,
|
||||
den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen.
|
||||
den Gefallen irgendwann heimgezahlt zu bekommen.
|
||||
Während die Schuldenverhältnisse
|
||||
bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
|
||||
ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
|
||||
|
|
@ -101,15 +101,15 @@ ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}
|
|||
|
||||
\paragraph{Aufbau}
|
||||
In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
|
||||
definieren wir zu Beginn in \autoref{sec:kaffeeproblem}
|
||||
definieren wir zu Beginn im ersten Hauptteil
|
||||
das \(n\)-Kaffee-Problem,
|
||||
welches die Frage der Schuldenverhältnisse
|
||||
zwischen zwei Mitgliedern
|
||||
einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
|
||||
Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
|
||||
bevor wir in \autoref{sec:visualisierung}
|
||||
bevor wir im zweiten Hauptteil
|
||||
einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
|
||||
Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung}
|
||||
Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss
|
||||
und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.
|
||||
|
||||
\paragraph{Verwandte Arbeiten}
|
||||
|
|
@ -140,7 +140,7 @@ insbesondere auf kleinere Gruppen bezieht,
|
|||
unternimmt Fisher eine Studie,
|
||||
die beleuchtet,
|
||||
wie die \emph{International Coffee Organization} (ICO)
|
||||
Krisen im internationalen Kaffee löst.
|
||||
Krisen im internationalen Kaffeegeschehen löst.
|
||||
Mit Diplomatie.
|
||||
|
||||
Fasano \etal haben mathematische Modelle
|
||||
|
|
@ -148,7 +148,7 @@ zur Beschreibung des Prozesses eingeführt,
|
|||
Espresso aufzubrühen~\cite{FasanoTP00}.
|
||||
Unsere Arbeit bezieht sich im Gegensatz zu Fasano \etal
|
||||
nicht auf die Seite des Aufbrühenden,
|
||||
sondern des potentiell verbrühten.
|
||||
sondern des potentiell Verbrühten.
|
||||
Ebenfalls auf den Herstellungsprozess
|
||||
beziehen sich \emph{Requests for Comments} (RFC),
|
||||
welche das \emph{Hyper Text Coffee Pot Control Protocol}
|
||||
|
|
@ -161,7 +161,7 @@ Sollte beispielsweise Heinold Kaffee trinken,
|
|||
verliert er in seiner Abschlussarbeit
|
||||
nicht ein einziges Wort darüber
|
||||
und vermeidet so die Möglichkeit,
|
||||
die Qualität der Arbeit noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}.
|
||||
deren Qualität noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}.
|
||||
|
||||
Walker beschäftigt sich damit,
|
||||
wo Krokodile und Vögel herkommen~\cite{Walker72}.
|
||||
|
|
@ -192,9 +192,10 @@ Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
|
|||
ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
|
||||
Wichtig ist lediglich,
|
||||
dass die beteiligten Personen
|
||||
sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
|
||||
sich gegenseitig Kaffee ausgeben.\footnote{%
|
||||
Tee scheidet aus. Tee ist schwach.}
|
||||
|
||||
Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
|
||||
Zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir nun eine Möglichkeit,
|
||||
die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
|
||||
|
||||
\begin{defi}[Kaffeekasse]
|
||||
|
|
@ -202,8 +203,8 @@ die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
|
|||
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
|
||||
und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
|
||||
Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
|
||||
\(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
|
||||
für das gilt:
|
||||
\(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\)
|
||||
mit
|
||||
\[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
|
||||
Für \(1 \leq i \leq n\)
|
||||
bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz
|
||||
|
|
@ -219,16 +220,14 @@ Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
|
|||
Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
|
||||
müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
|
||||
|
||||
% \begin{defi}[kaffeekassentransitionition]
|
||||
\begin{defi}[Kaffeekassensturz]
|
||||
\begin{defi}[kaffeekassentransition]
|
||||
\label{def:kaffeekassentransition}
|
||||
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
|
||||
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
|
||||
\(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
|
||||
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
|
||||
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
|
||||
% Die Kaffeekassentransition
|
||||
Der Kaffeekassensturz
|
||||
Die Kaffeekassentransition
|
||||
liefert zu \(k\)
|
||||
eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
|
||||
\[ \Delta_x' = \left\{
|
||||
|
|
@ -241,10 +240,15 @@ müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
|
|||
für \(x \in {[n]}\).
|
||||
\end{defi}
|
||||
|
||||
Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
|
||||
um sich gegenseitig Kaffess auszugeben,
|
||||
Zieht nun eine mindestens zweielementige Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
|
||||
um sich gegenseitig Kaffees auszugeben,
|
||||
ist immer wieder die Frage zu klären,
|
||||
wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.
|
||||
wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.\footnote{%
|
||||
Bestünde die Teilmenge lediglich aus einer Person
|
||||
(ohne gespaltene Persönlichkeit)
|
||||
entzöge dies unserem Problem
|
||||
dezent den Problemcharakter,
|
||||
was wir natürlich nicht zulassen können.}
|
||||
Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
|
||||
formalisiert exakt diese Fragestellung.
|
||||
|
||||
|
|
@ -286,7 +290,7 @@ Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
|
|||
|
||||
Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
|
||||
funktioniert nicht nur für \(n=2\),
|
||||
sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\).
|
||||
sondern für beliebige \(n>1\).
|
||||
Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Kaffeesatz]
|
||||
|
|
@ -316,8 +320,11 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
|
|||
\subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
|
||||
\label{sub:kaffeeparadoxon}
|
||||
|
||||
Mit der in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
|
||||
wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.
|
||||
Die definitiv in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
|
||||
wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.\footnote{%
|
||||
Um seine Schulden loszuwerden,
|
||||
wird keine wörtliche Entschuldigung akzeptiert,
|
||||
sondern nur Kaffee.}
|
||||
Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
|
||||
von wem sie noch Kaffees bekommt
|
||||
oder wem sie Kaffees schuldet.
|
||||
|
|
@ -329,9 +336,9 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
|
|||
\label{def:explizitekaffeekasse}
|
||||
Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
|
||||
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse}
|
||||
ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit:
|
||||
ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
|
||||
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \) und
|
||||
\item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
|
||||
|
|
@ -342,21 +349,18 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
|
|||
\end{align*}
|
||||
\end{defi}
|
||||
|
||||
Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir
|
||||
% die Transition
|
||||
den Kassensturz
|
||||
Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse
|
||||
definieren wir die Transition
|
||||
analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
|
||||
|
||||
% \begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
|
||||
\begin{defi}[Expliziter Kaffeekassensturz]
|
||||
\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
|
||||
\label{def:explizitekaffeekassentransition}
|
||||
Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
|
||||
\(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
|
||||
\(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
|
||||
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
|
||||
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
|
||||
% Die explizite Kaffeekassentransition
|
||||
Der explizite Kaffeekassensturz
|
||||
Die explizite Kaffeekassentransition
|
||||
liefert zu \(\kappa\)
|
||||
eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
|
||||
\[ \delta_{k,l}' = \left\{
|
||||
|
|
@ -384,10 +388,10 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
|
|||
Trivialerweise gilt
|
||||
\[
|
||||
\begin{array}{lll}
|
||||
\sum\limits_{i=1}^n \Delta_i & = & \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
|
||||
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
|
||||
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
|
||||
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\
|
||||
\displaystyle\sum_{i=1}^n \Delta_i & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
|
||||
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
|
||||
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
|
||||
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\
|
||||
& = & 0.
|
||||
\end{array}
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||||
\]
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||||
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|
@ -398,7 +402,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
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||||
\begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
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||||
\label{beob:kaffeparadoxon}
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||||
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \)
|
||||
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \)
|
||||
und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
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||||
Nehmen wir an,
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||||
\(p_2\) hat bisher jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
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||||
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@ -412,7 +416,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
|
|||
\end{array} \right).
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||||
\]
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||||
Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist,
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||||
werden stets zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
|
||||
werden stets genau zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
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||||
ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden,
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||||
damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist.
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@ -421,15 +425,20 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
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Hierbei ist unmittelbar zu erkennen,
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das nur 2 Kaffees benötigt werden,
|
||||
um die Kaffeeschulden auszugleichen.
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||||
Dieses Phänomen,
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||||
welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen,
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||||
lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} begründen.
|
||||
Die bilanzierende Kaffeekasse
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||||
vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
|
||||
während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
|
||||
\end{beob}
|
||||
|
||||
Dieses Phänomen,
|
||||
welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen,
|
||||
lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} erklären.
|
||||
Die bilanzierende Kaffeekasse
|
||||
vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
|
||||
während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
|
||||
Welche Variante gewählt wird ist Geschmackssache\footnote{%
|
||||
Im Gegensatz zu heißem, leckeren Kaffee.
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||||
Der schmeckt richtig.}
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||||
und hängt davon ab,
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wie unnötig kompliziert man es gerne möchte.
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
%% Visualisierung des Kaffeeproblems
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||||
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@ -437,17 +446,19 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
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\label{sec:visualisierung}
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||||
Im folgenden stellen wir Möglichkeiten vor,
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||||
das Kaffeeproblem für Gruppen aus 2 oder 3 Personen
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||||
grafisch darzustellen bzw. zu lösen.
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||||
grafisch darzustellen und zu lösen.
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||||
\subsection{Darstellung des 2-Kaffee-Problems}
|
||||
\subsection{Visualisierung des 2-Kaffee-Problems}
|
||||
\label{ssec:2-kaffee-problem}
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||||
Wie bereits in \autoref{beis:2-kaffee-problem} angesprochen,
|
||||
wird nur eine einzelne Komponente der Kaffeekasse benötigt.
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||||
Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar.
|
||||
Somit stellen wir die Kaffeekasse
|
||||
mit einem Kaffeestrahl dar
|
||||
(\autoref{fig:2-kaffee-problem}).
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||||
\begin{figure}[tb]
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\centering
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||||
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
|
||||
\includegraphics[scale=.8]{2KaffeeProblem}
|
||||
\caption{%
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||||
Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
|
||||
In diesem Fall schuldet \(p_1\) \(p_2\)
|
||||
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@ -456,24 +467,6 @@ Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar.
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|||
\label{fig:2-kaffee-problem}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
In der Abbildung lässt sich
|
||||
durch Verschieben des Punktes
|
||||
der Zustand aktualisieren.
|
||||
Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt,
|
||||
also von der ausgebenden Person weg
|
||||
und auf die empfangende Person zu.
|
||||
|
||||
\subsection{Darstellungen des 3-Kaffee-Problems}
|
||||
Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann
|
||||
für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein
|
||||
kartesisches Koordinatensystem verwendet werden,
|
||||
in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
|
||||
als Koordinaten eingetragen werden
|
||||
(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}).
|
||||
Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\)
|
||||
kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden,
|
||||
deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt.
|
||||
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||||
\begin{figure}[tb]
|
||||
\centering
|
||||
\includegraphics[scale=.8]{3KaffeeKartesisch}
|
||||
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|
@ -484,6 +477,23 @@ deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt.
|
|||
\label{fig:3-kaffee-kartesisch}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
In der Abbildung lässt sich
|
||||
durch Verschieben des Punktes
|
||||
der Zustand aktualisieren.
|
||||
Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt,
|
||||
also von der ausgebenden Person weg
|
||||
hin zur empfangenden Person.
|
||||
|
||||
\subsection{Visualisierung des 3-Kaffee-Problems}
|
||||
Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann
|
||||
für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein
|
||||
kartesisches Koordinatensystem verwendet werden,
|
||||
in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
|
||||
als Koordinaten eingetragen werden
|
||||
(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}).
|
||||
Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\)
|
||||
kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden
|
||||
|
||||
Die Aktualisierung der Darstellung muss erfolgen,
|
||||
indem der Punkt den Änderungen in \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) entsprechend
|
||||
verschoben wird.
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||||
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@ -492,8 +502,8 @@ nachzudenken.
|
|||
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||||
Um dieses schwerwiegende Manko zu beheben
|
||||
bietet sich eine Visualisierung
|
||||
in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an,
|
||||
wie in \autoref{fig:3-kaffee-schief} dargestellt.
|
||||
in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an
|
||||
(\autoref{fig:3-kaffee-schief}).
|
||||
Die Achsen schneiden sich hier in einem Winkel von \(60\degree\).
|
||||
Die Darstellung unterscheidet sich prinzipiell
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||||
nicht sonderlich von der Darstellung im orthogonalen Koordinatensystem.
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||||
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@ -520,11 +530,11 @@ hin zur empfangenen Person verschoben werden.
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|||
\label{sec:zusammenfassung}
|
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In dieser durch die Einleitung eingeleiteten,
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durch beiden Hauptteile angereicherten
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durch die beiden Hauptteile angereicherten
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und im Schluss abgeschlossenen Arbeit
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haben wir das n-Kaffee-Problem eingeführt,
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haben wir das \(n\)-Kaffee-Problem eingeführt,
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||||
Probleme an den Haaren herbeigezogen
|
||||
und schließlich Visualisierungen entwickelt.\footnote{%
|
||||
und schließlich Visualisierungen zu deren Lösung entwickelt.\footnote{%
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||||
Visualisierungen, die sich übrigens prima an Whiteboards machen.}
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||||
Mit Hilfe des Kaffeesatzes konnten wir Kaffeekassen
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auf kleinere Kaffeekassen reduzieren
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@ -534,7 +544,11 @@ voneinander abgegrenzt
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und das Kaffee-Paradoxon nicht nur entdeckt,
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sondern auch aufgeklärt.
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Offen bleibt,
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Zukünftige Arbeiten könnten die Auswirkungen
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des Ein- und Austritts von Personen
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zu Kaffeekränzchen
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auf die Kaffeekasse klären.
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Offen bleibt zunächst auch,
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ob man einfache Visualisierungen auch für \(n\)-Kaffeekränzchen
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mit \(n > 3\) entwickeln kann.
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Des Weiteren hatten wir keine Lust mehr,
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