Final Version.

3KaffeeKartesisch.svg

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main.tex

@@ -43,7 +43,7 @@
 
 \title{Vom Kaffee-Problem}
 \author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg}
-\date{September 2014}
+\date{Dezember 2014}
 
 
 \begin{document}
@@ -54,7 +54,7 @@
 %% Abstract
 
 \begin{abstract}
-  Das n-Kaffee-Problem
+  Das \(n\)-Kaffee-Problem
   beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
   in einer Gruppe von \(n\in\naturals\) Personen.
   Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
@@ -70,12 +70,12 @@
 \section{Einleitung}
 \label{sec:einleitung}
 
-Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb
+Der normale universitäre Wissenschaftsbetrieb
 wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
 also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
 aufrecht erhalten.
 Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
-welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
+welche \emph{Kaffee} in \emph{Theoreme} verstoffwechseln.
 Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{%
 Wenn man da Milch reintut ist er aber nicht mehr schwarz.}
 kann also völlig zu Recht als das Fundament
@@ -91,7 +91,7 @@ Dabei kommt es immer wieder vor,
 dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
 Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
 in der optimistischen Hoffnung,
-den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen.
+den Gefallen irgendwann heimgezahlt zu bekommen.
 Während die Schuldenverhältnisse
 bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
 ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
@@ -101,15 +101,15 @@ ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}
 
 \paragraph{Aufbau}
 In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
-definieren wir zu Beginn in \autoref{sec:kaffeeproblem}
+definieren wir zu Beginn im ersten Hauptteil
 das \(n\)-Kaffee-Problem,
 welches die Frage der Schuldenverhältnisse
 zwischen zwei Mitgliedern
 einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
 Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
-bevor wir in \autoref{sec:visualisierung}
+bevor wir im zweiten Hauptteil
 einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
-Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung}
+Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss
 und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.
 
 \paragraph{Verwandte Arbeiten}
@@ -140,7 +140,7 @@ insbesondere auf kleinere Gruppen bezieht,
 unternimmt Fisher eine Studie,
 die beleuchtet,
 wie die \emph{International Coffee Organization} (ICO)
-Krisen im internationalen Kaffee löst.
+Krisen im internationalen Kaffeegeschehen löst.
 Mit Diplomatie.
 
 Fasano \etal haben mathematische Modelle
@@ -148,7 +148,7 @@ zur Beschreibung des Prozesses eingeführt,
 Espresso aufzubrühen~\cite{FasanoTP00}.
 Unsere Arbeit bezieht sich im Gegensatz zu Fasano \etal
 nicht auf die Seite des Aufbrühenden,
-sondern des potentiell verbrühten.
+sondern des potentiell Verbrühten.
 Ebenfalls auf den Herstellungsprozess
 beziehen sich \emph{Requests for Comments} (RFC),
 welche das \emph{Hyper Text Coffee Pot Control Protocol}
@@ -161,7 +161,7 @@ Sollte beispielsweise Heinold Kaffee trinken,
 verliert er in seiner Abschlussarbeit
 nicht ein einziges Wort darüber
 und vermeidet so die Möglichkeit,
-die Qualität der Arbeit noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}.
+deren Qualität noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}.
 
 Walker beschäftigt sich damit,
 wo Krokodile und Vögel herkommen~\cite{Walker72}.
@@ -192,9 +192,10 @@ Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
 ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
 Wichtig ist lediglich,
 dass die beteiligten Personen
-sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
+sich gegenseitig Kaffee ausgeben.\footnote{%
+Tee scheidet aus. Tee ist schwach.}
 
-Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
+Zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir nun eine Möglichkeit,
 die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
 
 \begin{defi}[Kaffeekasse]
@@ -202,8 +203,8 @@ die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
   Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
   und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
   Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
-  \(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
+  \(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\)
-  für das gilt:
+  mit
   \[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
   Für \(1 \leq i \leq n\)
   bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz
@@ -219,16 +220,14 @@ Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
 Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
 müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
 
-% \begin{defi}[kaffeekassentransitionition]
+\begin{defi}[kaffeekassentransition]
-\begin{defi}[Kaffeekassensturz]
   \label{def:kaffeekassentransition}
   Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
   \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
   \(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
   sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
   dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
-  % Die Kaffeekassentransition
+  Die Kaffeekassentransition
-  Der Kaffeekassensturz
   liefert zu \(k\)
   eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
   \[ \Delta_x' = \left\{
@@ -241,10 +240,15 @@ müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
   für \(x \in {[n]}\).
 \end{defi}
 
-Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
+Zieht nun eine mindestens zweielementige Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
-um sich gegenseitig Kaffess auszugeben,
+um sich gegenseitig Kaffees auszugeben,
 ist immer wieder die Frage zu klären,
-wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.
+wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.\footnote{%
+Bestünde die Teilmenge lediglich aus einer Person
+(ohne gespaltene Persönlichkeit)
+entzöge dies unserem Problem
+dezent den Problemcharakter,
+was wir natürlich nicht zulassen können.}
 Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
 formalisiert exakt diese Fragestellung.
 
@@ -286,7 +290,7 @@ Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
 
 Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
 funktioniert nicht nur für \(n=2\),
-sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\).
+sondern für beliebige \(n>1\).
 Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
 
 \begin{satz}[Kaffeesatz]
@@ -316,8 +320,11 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
 \subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
 \label{sub:kaffeeparadoxon}
 
-Mit der in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
+Die definitiv in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
-wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.
+wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.\footnote{%
+Um seine Schulden loszuwerden,
+wird keine wörtliche Entschuldigung akzeptiert,
+sondern nur Kaffee.}
 Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
 von wem sie noch Kaffees bekommt
 oder wem sie Kaffees schuldet.
@@ -329,9 +336,9 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
   \label{def:explizitekaffeekasse}
   Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
   Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse}
-  ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit:
+  ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit
   \begin{enumerate}
-    \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
+    \item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \) und
     \item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
   \end{enumerate}
   Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
@@ -342,21 +349,18 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
   \end{align*}
 \end{defi}
 
-Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir
+Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse
-% die Transition
+definieren wir die Transition
-den Kassensturz
 analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
 
-% \begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
+\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
-\begin{defi}[Expliziter Kaffeekassensturz]
   \label{def:explizitekaffeekassentransition}
   Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
   \(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
   \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
   sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
   dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
-  % Die explizite Kaffeekassentransition
+  Die explizite Kaffeekassentransition
-  Der explizite Kaffeekassensturz
   liefert zu \(\kappa\)
   eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
   \[ \delta_{k,l}' = \left\{
@@ -384,10 +388,10 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
   Trivialerweise gilt
   \[
     \begin{array}{lll}
-      \sum\limits_{i=1}^n \Delta_i & = & \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
+      \displaystyle\sum_{i=1}^n \Delta_i & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
-        & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
+        & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
-        & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
+        & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
-        & = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l}  - \delta_{i,l}) \\
+        & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l}  - \delta_{i,l}) \\
         & = & 0.
     \end{array}
   \]
@@ -398,7 +402,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
 
 \begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
   \label{beob:kaffeparadoxon}
-  Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \) 
+  Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \)
   und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
   Nehmen wir an,
   \(p_2\) hat bisher jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
@@ -412,7 +416,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
     \end{array} \right).
   \]
   Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist,
-  werden stets zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
+  werden stets genau zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
   ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden,
   damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist.
 
@@ -421,15 +425,20 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
   Hierbei ist unmittelbar zu erkennen,
   das nur 2 Kaffees benötigt werden,
   um die Kaffeeschulden auszugleichen.
-
-  Dieses Phänomen,
-  welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen,
-  lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} begründen.
-  Die bilanzierende Kaffeekasse
-  vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
-  während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
 \end{beob}
 
+Dieses Phänomen,
+welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen,
+lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} erklären.
+Die bilanzierende Kaffeekasse
+vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
+während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
+Welche Variante gewählt wird ist Geschmackssache\footnote{%
+Im Gegensatz zu heißem, leckeren Kaffee.
+Der schmeckt richtig.}
+und hängt davon ab,
+wie unnötig kompliziert man es gerne möchte.
+
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %% Visualisierung des Kaffeeproblems
@@ -437,17 +446,19 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
 \label{sec:visualisierung}
 Im folgenden stellen wir Möglichkeiten vor,
 das Kaffeeproblem für Gruppen aus 2 oder 3 Personen
-grafisch darzustellen bzw. zu lösen.
+grafisch darzustellen und zu lösen.
 
-\subsection{Darstellung des 2-Kaffee-Problems}
+\subsection{Visualisierung des 2-Kaffee-Problems}
 \label{ssec:2-kaffee-problem}
 Wie bereits in \autoref{beis:2-kaffee-problem} angesprochen,
 wird nur eine einzelne Komponente der Kaffeekasse benötigt.
-Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar.
+Somit stellen wir die Kaffeekasse
+mit einem Kaffeestrahl dar
+(\autoref{fig:2-kaffee-problem}).
 
 \begin{figure}[tb]
   \centering
-  \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
+  \includegraphics[scale=.8]{2KaffeeProblem}
   \caption{%
     Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
     In diesem Fall schuldet \(p_1\) \(p_2\)
@@ -456,24 +467,6 @@ Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar.
   \label{fig:2-kaffee-problem}
 \end{figure}
 
-In der Abbildung lässt sich
-durch Verschieben des Punktes
-der Zustand aktualisieren.
-Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt,
-also von der ausgebenden Person weg
-und auf die empfangende Person zu.
-
-\subsection{Darstellungen des 3-Kaffee-Problems}
-Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann
-für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein
-kartesisches Koordinatensystem verwendet werden,
-in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
-als Koordinaten eingetragen werden
-(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}).
-Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\)
-kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden,
-deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt.
-
 \begin{figure}[tb]
   \centering
   \includegraphics[scale=.8]{3KaffeeKartesisch}
@@ -484,6 +477,23 @@ deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt.
   \label{fig:3-kaffee-kartesisch}
 \end{figure}
 
+In der Abbildung lässt sich
+durch Verschieben des Punktes
+der Zustand aktualisieren.
+Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt,
+also von der ausgebenden Person weg
+hin zur empfangenden Person.
+
+\subsection{Visualisierung des 3-Kaffee-Problems}
+Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann
+für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein
+kartesisches Koordinatensystem verwendet werden,
+in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
+als Koordinaten eingetragen werden
+(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}).
+Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\)
+kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden
+
 Die Aktualisierung der Darstellung muss erfolgen,
 indem der Punkt den Änderungen in \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) entsprechend
 verschoben wird.
@@ -492,8 +502,8 @@ nachzudenken.
 
 Um dieses schwerwiegende Manko zu beheben
 bietet sich eine Visualisierung
-in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an,
+in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an
-wie in \autoref{fig:3-kaffee-schief} dargestellt.
+(\autoref{fig:3-kaffee-schief}).
 Die Achsen schneiden sich hier in einem Winkel von \(60\degree\).
 Die Darstellung unterscheidet sich prinzipiell
 nicht sonderlich von der Darstellung im orthogonalen Koordinatensystem.
@@ -520,11 +530,11 @@ hin zur empfangenen Person verschoben werden.
 \label{sec:zusammenfassung}
 
 In dieser durch die Einleitung eingeleiteten,
-durch beiden Hauptteile angereicherten
+durch die beiden Hauptteile angereicherten
 und im Schluss abgeschlossenen Arbeit
-haben wir das n-Kaffee-Problem eingeführt,
+haben wir das \(n\)-Kaffee-Problem eingeführt,
 Probleme an den Haaren herbeigezogen
-und schließlich Visualisierungen entwickelt.\footnote{%
+und schließlich Visualisierungen zu deren Lösung entwickelt.\footnote{%
 Visualisierungen, die sich übrigens prima an Whiteboards machen.}
 Mit Hilfe des Kaffeesatzes konnten wir Kaffeekassen
 auf kleinere Kaffeekassen reduzieren
@@ -534,7 +544,11 @@ voneinander abgegrenzt
 und das Kaffee-Paradoxon nicht nur entdeckt,
 sondern auch aufgeklärt.
 
-Offen bleibt,
+Zukünftige Arbeiten könnten die Auswirkungen
+des Ein- und Austritts von Personen
+zu Kaffeekränzchen
+auf die Kaffeekasse klären.
+Offen bleibt zunächst auch,
 ob man einfache Visualisierungen auch für \(n\)-Kaffeekränzchen
 mit \(n > 3\) entwickeln kann.
 Des Weiteren hatten wir keine Lust mehr,