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@ -43,7 +43,7 @@
\title{Vom Kaffee-Problem}
\author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg}
\date{September 2014}
\date{Dezember 2014}
\begin{document}
@ -54,7 +54,7 @@
%% Abstract
\begin{abstract}
Das n-Kaffee-Problem
Das \(n\)-Kaffee-Problem
beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
in einer Gruppe von \(n\in\naturals\) Personen.
Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
@ -70,12 +70,12 @@
\section{Einleitung}
\label{sec:einleitung}
Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb
Der normale universitäre Wissenschaftsbetrieb
wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
aufrecht erhalten.
Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
welche \emph{Kaffee} in \emph{Theoreme} verstoffwechseln.
Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{%
Wenn man da Milch reintut ist er aber nicht mehr schwarz.}
kann also völlig zu Recht als das Fundament
@ -91,7 +91,7 @@ Dabei kommt es immer wieder vor,
dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
in der optimistischen Hoffnung,
den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen.
den Gefallen irgendwann heimgezahlt zu bekommen.
Während die Schuldenverhältnisse
bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
@ -101,15 +101,15 @@ ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}
\paragraph{Aufbau}
In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
definieren wir zu Beginn in \autoref{sec:kaffeeproblem}
definieren wir zu Beginn im ersten Hauptteil
das \(n\)-Kaffee-Problem,
welches die Frage der Schuldenverhältnisse
zwischen zwei Mitgliedern
einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
bevor wir in \autoref{sec:visualisierung}
bevor wir im zweiten Hauptteil
einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung}
Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss
und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.
\paragraph{Verwandte Arbeiten}
@ -140,7 +140,7 @@ insbesondere auf kleinere Gruppen bezieht,
unternimmt Fisher eine Studie,
die beleuchtet,
wie die \emph{International Coffee Organization} (ICO)
Krisen im internationalen Kaffee löst.
Krisen im internationalen Kaffeegeschehen löst.
Mit Diplomatie.
Fasano \etal haben mathematische Modelle
@ -148,7 +148,7 @@ zur Beschreibung des Prozesses eingeführt,
Espresso aufzubrühen~\cite{FasanoTP00}.
Unsere Arbeit bezieht sich im Gegensatz zu Fasano \etal
nicht auf die Seite des Aufbrühenden,
sondern des potentiell verbrühten.
sondern des potentiell Verbrühten.
Ebenfalls auf den Herstellungsprozess
beziehen sich \emph{Requests for Comments} (RFC),
welche das \emph{Hyper Text Coffee Pot Control Protocol}
@ -161,7 +161,7 @@ Sollte beispielsweise Heinold Kaffee trinken,
verliert er in seiner Abschlussarbeit
nicht ein einziges Wort darüber
und vermeidet so die Möglichkeit,
die Qualität der Arbeit noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}.
deren Qualität noch weiter zu steigern~\cite{Heinold10}.
Walker beschäftigt sich damit,
wo Krokodile und Vögel herkommen~\cite{Walker72}.
@ -192,9 +192,10 @@ Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
Wichtig ist lediglich,
dass die beteiligten Personen
sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
sich gegenseitig Kaffee ausgeben.\footnote{%
Tee scheidet aus. Tee ist schwach.}
Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
Zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir nun eine Möglichkeit,
die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
\begin{defi}[Kaffeekasse]
@ -202,8 +203,8 @@ die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
\(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
für das gilt:
\(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\)
mit
\[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
Für \(1 \leq i \leq n\)
bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz
@ -219,16 +220,14 @@ Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
% \begin{defi}[kaffeekassentransitionition]
\begin{defi}[Kaffeekassensturz]
\begin{defi}[kaffeekassentransition]
\label{def:kaffeekassentransition}
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
\(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
% Die Kaffeekassentransition
Der Kaffeekassensturz
Die Kaffeekassentransition
liefert zu \(k\)
eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
\[ \Delta_x' = \left\{
@ -241,10 +240,15 @@ müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
für \(x \in {[n]}\).
\end{defi}
Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
um sich gegenseitig Kaffess auszugeben,
Zieht nun eine mindestens zweielementige Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
um sich gegenseitig Kaffees auszugeben,
ist immer wieder die Frage zu klären,
wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.
wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.\footnote{%
Bestünde die Teilmenge lediglich aus einer Person
(ohne gespaltene Persönlichkeit)
entzöge dies unserem Problem
dezent den Problemcharakter,
was wir natürlich nicht zulassen können.}
Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
formalisiert exakt diese Fragestellung.
@ -286,7 +290,7 @@ Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
funktioniert nicht nur für \(n=2\),
sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\).
sondern für beliebige \(n>1\).
Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
\begin{satz}[Kaffeesatz]
@ -316,8 +320,11 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
\subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
\label{sub:kaffeeparadoxon}
Mit der in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.
Die definitiv in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.\footnote{%
Um seine Schulden loszuwerden,
wird keine wörtliche Entschuldigung akzeptiert,
sondern nur Kaffee.}
Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
von wem sie noch Kaffees bekommt
oder wem sie Kaffees schuldet.
@ -329,9 +336,9 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
\label{def:explizitekaffeekasse}
Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse}
ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit:
ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit
\begin{enumerate}
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \) und
\item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
\end{enumerate}
Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
@ -342,21 +349,18 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
\end{align*}
\end{defi}
Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir
% die Transition
den Kassensturz
Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse
definieren wir die Transition
analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
% \begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
\begin{defi}[Expliziter Kaffeekassensturz]
\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
\label{def:explizitekaffeekassentransition}
Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
\(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
\(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
% Die explizite Kaffeekassentransition
Der explizite Kaffeekassensturz
Die explizite Kaffeekassentransition
liefert zu \(\kappa\)
eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
\[ \delta_{k,l}' = \left\{
@ -384,10 +388,10 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
Trivialerweise gilt
\[
\begin{array}{lll}
\sum\limits_{i=1}^n \Delta_i & = & \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
& = & \sum\limits_{i=1}^n \delta_{i,i} + \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\
\displaystyle\sum_{i=1}^n \Delta_i & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=i+1}^n \delta_{i,l} \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} \delta_{i,l} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} - \delta_{i,l} \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \delta_{i,i} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \displaystyle\sum_{l=1}^{i-1} (\delta_{i,l} - \delta_{i,l}) \\
& = & 0.
\end{array}
\]
@ -398,7 +402,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
\begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
\label{beob:kaffeparadoxon}
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \)
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = \{p_1, p_2, p_3\} \)
und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
Nehmen wir an,
\(p_2\) hat bisher jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
@ -412,7 +416,7 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
\end{array} \right).
\]
Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist,
werden stets zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
werden stets genau zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden,
damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist.
@ -421,15 +425,20 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
Hierbei ist unmittelbar zu erkennen,
das nur 2 Kaffees benötigt werden,
um die Kaffeeschulden auszugleichen.
Dieses Phänomen,
welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen,
lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} begründen.
Die bilanzierende Kaffeekasse
vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
\end{beob}
Dieses Phänomen,
welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen,
lässt sich durch das Auftreten \emph{transitiver Kaffeeschulden} erklären.
Die bilanzierende Kaffeekasse
vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
Welche Variante gewählt wird ist Geschmackssache\footnote{%
Im Gegensatz zu heißem, leckeren Kaffee.
Der schmeckt richtig.}
und hängt davon ab,
wie unnötig kompliziert man es gerne möchte.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Visualisierung des Kaffeeproblems
@ -437,17 +446,19 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
\label{sec:visualisierung}
Im folgenden stellen wir Möglichkeiten vor,
das Kaffeeproblem für Gruppen aus 2 oder 3 Personen
grafisch darzustellen bzw. zu lösen.
grafisch darzustellen und zu lösen.
\subsection{Darstellung des 2-Kaffee-Problems}
\subsection{Visualisierung des 2-Kaffee-Problems}
\label{ssec:2-kaffee-problem}
Wie bereits in \autoref{beis:2-kaffee-problem} angesprochen,
wird nur eine einzelne Komponente der Kaffeekasse benötigt.
Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar.
Somit stellen wir die Kaffeekasse
mit einem Kaffeestrahl dar
(\autoref{fig:2-kaffee-problem}).
\begin{figure}[tb]
\centering
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
\includegraphics[scale=.8]{2KaffeeProblem}
\caption{%
Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
In diesem Fall schuldet \(p_1\) \(p_2\)
@ -456,24 +467,6 @@ Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar.
\label{fig:2-kaffee-problem}
\end{figure}
In der Abbildung lässt sich
durch Verschieben des Punktes
der Zustand aktualisieren.
Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt,
also von der ausgebenden Person weg
und auf die empfangende Person zu.
\subsection{Darstellungen des 3-Kaffee-Problems}
Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann
für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein
kartesisches Koordinatensystem verwendet werden,
in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
als Koordinaten eingetragen werden
(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}).
Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\)
kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden,
deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt.
\begin{figure}[tb]
\centering
\includegraphics[scale=.8]{3KaffeeKartesisch}
@ -484,6 +477,23 @@ deren Wert nach links steigt und nach rechts fällt.
\label{fig:3-kaffee-kartesisch}
\end{figure}
In der Abbildung lässt sich
durch Verschieben des Punktes
der Zustand aktualisieren.
Hierzu wird der Punkt immer "`mit dem Kaffee"' bewegt,
also von der ausgebenden Person weg
hin zur empfangenden Person.
\subsection{Visualisierung des 3-Kaffee-Problems}
Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann
für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein
kartesisches Koordinatensystem verwendet werden,
in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
als Koordinaten eingetragen werden
(\autoref{fig:3-kaffee-kartesisch}).
Der sich ergebende Wert von \(\Delta_3\)
kann auf den dort eingetragenen Diagonalen abgelesen werden
Die Aktualisierung der Darstellung muss erfolgen,
indem der Punkt den Änderungen in \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\) entsprechend
verschoben wird.
@ -492,8 +502,8 @@ nachzudenken.
Um dieses schwerwiegende Manko zu beheben
bietet sich eine Visualisierung
in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an,
wie in \autoref{fig:3-kaffee-schief} dargestellt.
in einem gradlinigen, nichtorthogonalen Koordinatensystem an
(\autoref{fig:3-kaffee-schief}).
Die Achsen schneiden sich hier in einem Winkel von \(60\degree\).
Die Darstellung unterscheidet sich prinzipiell
nicht sonderlich von der Darstellung im orthogonalen Koordinatensystem.
@ -520,11 +530,11 @@ hin zur empfangenen Person verschoben werden.
\label{sec:zusammenfassung}
In dieser durch die Einleitung eingeleiteten,
durch beiden Hauptteile angereicherten
durch die beiden Hauptteile angereicherten
und im Schluss abgeschlossenen Arbeit
haben wir das n-Kaffee-Problem eingeführt,
haben wir das \(n\)-Kaffee-Problem eingeführt,
Probleme an den Haaren herbeigezogen
und schließlich Visualisierungen entwickelt.\footnote{%
und schließlich Visualisierungen zu deren Lösung entwickelt.\footnote{%
Visualisierungen, die sich übrigens prima an Whiteboards machen.}
Mit Hilfe des Kaffeesatzes konnten wir Kaffeekassen
auf kleinere Kaffeekassen reduzieren
@ -534,7 +544,11 @@ voneinander abgegrenzt
und das Kaffee-Paradoxon nicht nur entdeckt,
sondern auch aufgeklärt.
Offen bleibt,
Zukünftige Arbeiten könnten die Auswirkungen
des Ein- und Austritts von Personen
zu Kaffeekränzchen
auf die Kaffeekasse klären.
Offen bleibt zunächst auch,
ob man einfache Visualisierungen auch für \(n\)-Kaffeekränzchen
mit \(n > 3\) entwickeln kann.
Des Weiteren hatten wir keine Lust mehr,