462 lines
16 KiB
TeX
462 lines
16 KiB
TeX
\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
\usepackage[german]{babel}
|
|
\usepackage[T1]{fontenc}
|
|
\usepackage{amsmath}
|
|
\usepackage{amsfonts}
|
|
\usepackage{amssymb}
|
|
\usepackage{gensymb}
|
|
\usepackage{amsthm}
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
\usepackage{hyperref}
|
|
|
|
\usepackage{todonotes}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% Tolle Definitionen
|
|
|
|
\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
|
|
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
|
|
|
|
\newtheorem{defi}{Definition}
|
|
\newcommand{\defiautorefname}{Definition}
|
|
\newtheorem{koro}{Korollar}
|
|
\newcommand{\koroautorefname}{Korollar}
|
|
\newtheorem{lemma}{Lemma}
|
|
\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
|
|
\newtheorem{satz}{Satz}
|
|
\newcommand{\satzautorefname}{Satz}
|
|
\newtheorem{beob}{Beobachtung}
|
|
\newcommand{\beobautorefname}{Beobachtung}
|
|
\newtheorem*{beis}{Beispiel}
|
|
\newcommand{\beisautorefname}{Beispiel}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% Dokumentinformationen
|
|
|
|
\title{Vom Kaffee-Problem}
|
|
\author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg}
|
|
\date{September 2014}
|
|
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
\maketitle
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% Abstract
|
|
|
|
\begin{abstract}
|
|
Das n-Kaffee-Problem
|
|
beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
|
|
in einer Gruppe von \(n\in\naturals\) Personen.
|
|
Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
|
|
In dieser Arbeit definieren wir das Problem
|
|
und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel,
|
|
Änderungen in den Verhältnissen
|
|
möglichst aufwandsminimiert notieren zu können.
|
|
\end{abstract}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% Einleitung
|
|
\section{Einleitung}
|
|
\label{sec:einleitung}
|
|
|
|
Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb
|
|
wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
|
|
also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
|
|
aufrecht erhalten.
|
|
Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
|
|
welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
|
|
Heißer, schwarzer Kaffee\footnote{%
|
|
Wenn man da Milch reintut ist er nicht mehr schwarz, Junge!}
|
|
kann also völlig zu Recht als das Fundament
|
|
des Fortschritts der Menschheit
|
|
angesehen werden.
|
|
|
|
Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen
|
|
im von ausufernden Denkprozessen gekennzeichneten Alltag herbeizuführen,
|
|
ist das gemeinsame, rudelhafte Beschaffen von heißem Kaffee üblich.
|
|
Dabei kommt es immer wieder vor,
|
|
dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
|
|
Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
|
|
in der optimistischen Hoffnung,
|
|
den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen.
|
|
Während die Schuldenverhältnisse
|
|
bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
|
|
ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
|
|
Zunahme bei größer werdenden Gruppen
|
|
ist auch ein von den \emph{Weight Watchers} behandeltes Problem,
|
|
ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}
|
|
|
|
In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
|
|
definieren wir zu Beginn in \autoref{sec:kaffeeproblem}
|
|
das \(n\)-Kaffee-Problem,
|
|
welches die Frage der Schuldenverhältnisse
|
|
zwischen zwei Mitgliedern
|
|
einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
|
|
Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
|
|
bevor wir in \autoref{sec:visualisierung}
|
|
einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
|
|
Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung}
|
|
und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.
|
|
|
|
\paragraph{Verwandte Arbeiten}
|
|
Bla.
|
|
|
|
\todo[inline]{Verwandte Arbeiten recherchieren.}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem
|
|
\section{Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem}
|
|
\label{sec:kaffeeproblem}
|
|
|
|
Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
|
|
müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
|
|
die das Problem überhaupt interessiert.\footnote{%
|
|
Hierzu gehört offenbar der Leser,
|
|
sonst würde er diesen Stuss ja nicht lesen}
|
|
|
|
\begin{defi}[Kaffeekränzchen]
|
|
\label{def:kaffeekraenzchen}
|
|
Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\)
|
|
für \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
|
|
bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen}
|
|
oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.\footnote{%
|
|
Man könnte in der Definition des Kaffeekränzchens sicherlich auch \(n=1\) zulassen,
|
|
aber das ist uns zu traurig.}
|
|
\end{defi}
|
|
|
|
Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
|
|
ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
|
|
Wichtig ist lediglich,
|
|
dass die beteiligten Personen
|
|
sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
|
|
|
|
Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
|
|
die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
|
|
|
|
\begin{defi}[Kaffeekasse]
|
|
\label{def:kaffeekasse}
|
|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
|
|
und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
|
|
Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
|
|
\(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
|
|
für das gilt:
|
|
\[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
|
|
Für \(1 \leq i \leq n\)
|
|
bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz
|
|
der von \(p_i\) getrunkenen und ausgegebenen Kaffees.
|
|
\end{defi}
|
|
|
|
Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
|
|
\begin{align*}
|
|
\Delta_i < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
|
|
\Delta_i > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
|
|
müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
|
|
|
|
% \begin{defi}[kaffeekassentransitionition]
|
|
\begin{defi}[Kaffeekassensturz]
|
|
\label{def:kaffeekassentransition}
|
|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
|
|
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
|
|
\(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
|
|
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
|
|
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
|
|
% Die Kaffeekassentransition
|
|
Der Kaffeekassensturz
|
|
liefert zu \(k\)
|
|
eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
|
|
\[ \Delta_x' = \left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
\Delta_x - 1 & \text{, falls } x=i \\
|
|
\Delta_x + 1 & \text{, falls } x=j \\
|
|
\Delta_x & \text{, sonst}
|
|
\end{array} \right.
|
|
\]
|
|
für \(x \in {[n]}\).
|
|
\end{defi}
|
|
|
|
Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
|
|
um sich gegenseitig Kaffess auszugeben,
|
|
ist immer wieder die Frage zu klären,
|
|
wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.
|
|
Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
|
|
formalisiert exakt diese Fragestellung.
|
|
|
|
\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
|
|
\label{def:kaffee_problem}
|
|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
|
|
und \(k\) eine Kaffeekasse
|
|
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
|
|
Gegeben zwei Personen \(p_i,p_j \in K\),
|
|
die einen Kaffee zusammen trinken wollen.
|
|
Das \(n\)-Kaffee-Problem besteht darin,
|
|
zu entscheiden,
|
|
ob \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgeben muss
|
|
oder umgekehrt.
|
|
\end{defi}
|
|
|
|
Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
|
|
|
|
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
|
|
\label{beis:2-kaffee-problem}
|
|
Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und
|
|
\(k\) eine K-Kaffeekasse.
|
|
Nehmen wir an, dass bisher \(p_1\) zweimal
|
|
einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat,
|
|
dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
|
|
|
|
Es lässt sich leicht erkennen,
|
|
dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
|
|
Somit können wir ohne Informationsverlust die
|
|
zweite Komponente der Kaffekasse vernachlässigen
|
|
und nur noch $\Delta_1$ betrachten. Hierbei gilt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\Delta_1 < 0 &: \enspace p_2 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } |\Delta_1| \text{ Kaffees.} \\
|
|
\Delta_1 = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeekasse ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
|
|
\Delta_1 > 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_2 \text{ noch } \Delta_1 \text{ Kaffees.}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{beis}
|
|
|
|
Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
|
|
funktioniert nicht nur für \(n=2\),
|
|
sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\).
|
|
Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
|
|
|
|
\begin{satz}[Kaffeesatz]
|
|
\label{satz:kaffeesatz}
|
|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
|
|
und \(k\) eine Kaffeekasse
|
|
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
|
|
Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
|
|
genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
|
|
Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
|
|
\[
|
|
\begin{array}{lll}
|
|
& \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} + \Delta_n &= 0 \\
|
|
\Leftrightarrow & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} &= {-\Delta_n}
|
|
\end{array}
|
|
\]
|
|
Das Kaffeedelta \(\Delta_n\)
|
|
lässt sich also aus den übrigen Kaffeedeltas direkt berechnen
|
|
und braucht daher nicht explizit in der Kaffeekasse geführt zu werden.
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon
|
|
\subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
|
|
\label{sub:kaffeeparadoxon}
|
|
|
|
Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
|
|
modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
|
|
Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
|
|
Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
|
|
in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
|
|
|
|
\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
|
|
\label{def:explizitekaffeekasse}
|
|
Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
|
|
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix
|
|
\( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
|
|
\item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
|
|
\end{enumerate}
|
|
Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
|
|
\begin{align*}
|
|
\delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
|
|
\delta_{i,j} = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeebilanz zwischen }p_i\text{ und }p_j\text{ ist ausgeglichen.} \\
|
|
\delta_{i,j} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
|
|
\end{align*}
|
|
\end{defi}
|
|
|
|
Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir
|
|
% die Transition
|
|
den Kassensturz
|
|
analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
|
|
|
|
% \begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
|
|
\begin{defi}[Expliziter Kaffeekassensturz]
|
|
\label{def:explizitekaffeekassentransition}
|
|
Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
|
|
\(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
|
|
\(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
|
|
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
|
|
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
|
|
% Die explizite Kaffeekassentransition
|
|
Der explizite Kaffeekassensturz
|
|
liefert zu \(\kappa\)
|
|
eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
|
|
\[ \delta_{k,l}' = \left\{
|
|
\begin{array}{ll}
|
|
\delta_{k,l} - 1 & \text{, falls } k=i \text{ und } l=j \\
|
|
\delta_{k,l} + 1 & \text{, falls } k=j \text{ und } l=i \\
|
|
\delta_{k,l} & \text{, sonst}
|
|
\end{array} \right.
|
|
\]
|
|
für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\).
|
|
\end{defi}
|
|
|
|
\begin{satz}
|
|
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
|
|
und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende,
|
|
bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
|
|
\end{satz}
|
|
\begin{proof}
|
|
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
|
|
und \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
|
|
Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
|
|
für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun
|
|
\[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
|
|
Dann ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als
|
|
\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \).
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
\begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
|
|
\label{beob:kaffeparadoxon}
|
|
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \)
|
|
und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\).
|
|
Nehmen wir an \(p_2\) hat bisher
|
|
jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
|
|
Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
|
|
Somit ergibt sich
|
|
\[\kappa = \left(
|
|
\begin{array}{rrr}
|
|
0 & 1 & 1 \\
|
|
-1 & 0 & -1 \\
|
|
-1 & 1 & 0
|
|
\end{array} \right).
|
|
\]
|
|
Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist,
|
|
werden stets zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
|
|
ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden,
|
|
damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist.
|
|
|
|
Bilden wir zu \(\kappa\) nun die bilanzierende Kaffeekasse \(k\),
|
|
so ergibt sich \(k = (2,-2,0) \).
|
|
Hierbei ist unmittelbar zu erkennen,
|
|
das nur 2 Kaffees benötigt werden,
|
|
um die Kaffeeschulden auszugleichen.
|
|
|
|
Dieses Phänomen, welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, lässt sich
|
|
in dem Auftreten von \emph{transitiven Kaffeeschulden} begründen.
|
|
Die bilanzierende Kaffeekasse vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
|
|
während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
|
|
\end{beob}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% Visualisierung des Kaffeeproblems
|
|
\section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
|
|
\label{sec:visualisierung}
|
|
Im folgenden stellen wir Möglichkeiten vor,
|
|
das Kaffeeproblem für Gruppen aus 2 oder 3 Personen
|
|
grafisch darzustellen bzw. zu lösen.
|
|
|
|
\subsection{Darstellung des 2-Kaffee-Problems}
|
|
\label{ssec:2-kaffee-problem}
|
|
Wie bereits in \autoref{beis:2-kaffee-problem} angesprochen,
|
|
wird nur eine einzelne Komponente der Kaffeekasse benötigt.
|
|
Somit stellen wir die Kaffeekasse wie in \autoref{fig:2-kaffee-problem} dar.
|
|
|
|
\begin{figure}[htbp]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
|
|
\caption{%
|
|
Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
|
|
In diesem Fall schuldet \(p_1\) \(p_2\)
|
|
noch \(2\) Kaffees.
|
|
}
|
|
\label{fig:2-kaffee-problem}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
In der Abbildung lässt sich durch Verschieben
|
|
des Punktes der Zustand aktualisieren.
|
|
Hierzu wird der Punkt immer ``mit dem Kaffee''
|
|
bewegt, also von der ausgebenden Person weg
|
|
und auf die empfangende Person zu.
|
|
|
|
\subsection{Darstellungen des 3-Kaffee-Problems}
|
|
Analog zu \autoref{ssec:2-kaffee-problem} kann
|
|
für die Darstellung des 3-Kaffee-Problems ein
|
|
kartesisches Koordinatensystem verwendet werden,
|
|
in dem die Werte von \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
|
|
als Koordinaten eingetragen werden.
|
|
|
|
\begin{figure}[htbp]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[scale=.6]{3KaffeeKartesisch}
|
|
\caption{%
|
|
Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit kartesischen Koordianten.
|
|
}
|
|
\label{fig:3-kaffee-kartesisch}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
In \autoref{fig:3-kaffee-kartesisch} ist eine
|
|
kartesische Darstellung für die Kaffeekasse
|
|
\(k = (2,-1,-1) \) gegeben.
|
|
Die Aktualisierung der Kaffeekasse,
|
|
und das Ablesen der Lösung des 3-Kaffee-Problems,
|
|
ist hier allerdings relativ kompliziert.
|
|
Gibt zum Beispiel \(p_1\) nun \(p_2\) einen Kaffee
|
|
aus, so muss zunächst im Kopf die
|
|
neue Kaffeekasse gebildet werden,
|
|
und anschliessend die neuen Werte
|
|
für \(\Delta_1\) und \(\Delta_2\)
|
|
eingetragen werden.
|
|
Zusätzlich ist der Wert von \(\Delta_3\)
|
|
nur indirekt zu erkennen.
|
|
Dieser ergibt sich aus dem negativen Achensabschnittes
|
|
der fallenden Diagonalen, auf der der Punkt
|
|
zur Zeit liegt.
|
|
|
|
\begin{figure}[htbp]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[scale=.6]{3KaffeeProblem}
|
|
\caption{%
|
|
Visualisierung des \(3\)-Kaffee-Problems mit schiefen Koordianten
|
|
}
|
|
\label{fig:3-kaffee-schief}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Als alternative Darstellung kann ein
|
|
geradliniges, nichtorthgonales Koordiantensystem
|
|
gewählt werden. In \autoref{fig:3-kaffee-schief}
|
|
schneiden sich die Achsen
|
|
mit einem Winkel von 60\degree.
|
|
Bei dieser Art des Koordinatensystems
|
|
können die selben Koordinaten verwendet werden,
|
|
die bereits im kartesischen Koordinatensystem berechnet wurden.
|
|
Allerdings können hier die Namen der Personen an den Seiten
|
|
plaziert werden, um eine einfacher Transition
|
|
zu ermöglichen.
|
|
Nun kann hier auch die Markierung wieder
|
|
``mit dem Kaffee'', von der ausgebenden Person weg
|
|
und auf die empfangende Person zu, verschoben werden.
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
%% Zusammenfassung
|
|
\section{Zusammenfassung}
|
|
\label{sec:zusammenfassung}
|
|
|
|
Zusammenfassung des Papers.
|
|
Mögliche Future Work:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren
|
|
\item Wir haben noch keinen Beweis dafür, dass die Visualisierung in einem Dreieck unmöglich oder zumindest blöd ist.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|