Paradoxon hinzugefügt, explizite Transition hinzugefügt

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Nis Börge Wechselberg 2014-09-17 15:36:03 +02:00
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@ -25,6 +25,8 @@
\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma} \newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
\newtheorem{satz}{Satz} \newtheorem{satz}{Satz}
\newcommand{\satzautorefname}{Satz} \newcommand{\satzautorefname}{Satz}
\newtheorem{beob}{Beobachtung}
\newcommand{\beobautorefname}{Beobachtung}
\newtheorem*{beis}{Beispiel} \newtheorem*{beis}{Beispiel}
@ -249,13 +251,18 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens. modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden. Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden, Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden. in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse] \begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
\label{def:explizitekaffeekasse}
Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen. Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Menge Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix
\[ k = \{ \delta_{ij} \in \integers | i,j \in \naturals_{\leq n} , i < j \} \] \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt:
\begin{enumerate}
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
\item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
\end{enumerate}
Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{ij}$ wie folgt: Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{ij}$ wie folgt:
\begin{align*} \begin{align*}
\delta_{ij} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\ \delta_{ij} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
@ -264,9 +271,73 @@ in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen w
\end{align*} \end{align*}
\end{defi} \end{defi}
Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir die Transistion
analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
\label{def:explizitekaffeekassentransition}
Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
\(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
\(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
Die explizite Kaffeekassentransition liefert zu \(\kappa\)
eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
\[ \delta_{k,l}' = \left\{
\begin{array}{ll}
\delta_{k,l} - 1 & \text{, falls } k=i \text{ und } l=j \\
\delta_{k,l} + 1 & \text{, falls } k=j \text{ und } l=i \\
\delta_{k,l} & \text{, sonst}
\end{array} \right.
\]
für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\).
\end{defi}
\begin{satz}
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende,
bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
\end{satz}
\begin{proof}
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
und \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun
\[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
Dann ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als
\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \).
\end{proof}
\begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
\label{beob:kaffeparadoxon}
Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \)
und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\). Bisher hat \(p_2\)
jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
Somit ergibt sich
\[\kappa = \left(
\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0
\end{array} \right).
\]
Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist,
werden stets zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden,
damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist.
Bilden wir zu \(\kappa\) nun die bilanzierende Kaffeekasse \(k\),
so ergibt sich \(k = (2,-2,0) \).
Hierbei ist zu erkennen, das nur 2 Kaffees benötigt werden, um die Kaffeeschulden
auszugleichen.
Dieses Phänomen, welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, lässt sich
in dem Auftreten von \emph{transitiven Kaffeeschulden} begründen.
Die bilanzierende Kaffeekasse vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
\end{beob}
Hierdurch werden sogenannte \emph{transitive Kaffeeschulden} vermieden.
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%% Visualisierung des Kaffeeproblems %% Visualisierung des Kaffeeproblems