Kaffeekasse hinzugefügt
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@ -1,6 +1,7 @@
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\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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@ -14,6 +15,7 @@
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%% Tolle Definitionen
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\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
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\newtheorem{defi}{Definition}
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\newtheorem*{beis}{Beispiel}
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@ -117,48 +119,69 @@ Wichtig ist lediglich,
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dass die beteiligten Personen
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sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
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Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch
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eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb
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der Gruppe zu dokumentieren.
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\begin{defi}[Kaffeekasse]
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Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und
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\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
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Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch
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\[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
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Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei
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als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und
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getrunkenen Kaffees.
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\end{defi}
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Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich
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\begin{align*}
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\Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
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\Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
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\end{align*}
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Mit diesen Definitionen können wir nun das
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allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
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\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
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foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren}
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\end{defi}
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\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
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Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
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\begin{description}
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\item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
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\item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
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||||
\item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
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\end{description}
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\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
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||||
Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
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\begin{description}
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||||
\item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
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||||
\item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
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||||
\item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
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\end{description}
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\begin{figure}[hbtp]
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\centering
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\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
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\caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
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\end{figure}
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\end{beis}
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\begin{figure}[hbtp]
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\centering
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\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
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||||
\caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
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\end{figure}
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\end{beis}
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\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
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\todo{Formel korrigieren}
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||||
Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
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\[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) =
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||||
\left\{ \begin{array}{cc}
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||||
(x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\
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||||
(x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
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||||
\end{array} \right.
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\]
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||||
Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
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\end{defi}
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\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
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\todo{Formel korrigieren}
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||||
Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
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\[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) =
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\left\{ \begin{array}{cc}
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(x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\
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(x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
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\end{array} \right.
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\]
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Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
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\end{defi}
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\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
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\todo{Text ergänzen}
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\begin{figure}[hbtp]
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\centering
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\includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
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\caption{}
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\end{figure}
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\end{beis}
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\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
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||||
\todo{Text ergänzen}
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\begin{figure}[hbtp]
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\centering
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\includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
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\caption{}
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\end{figure}
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\end{beis}
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