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\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage{hyperref}
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\usepackage{todonotes}
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%% Tolle Definitionen
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\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
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\newtheorem{defi}{Definition}
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\newtheorem*{beis}{Beispiel}
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%% Dokumentinformationen
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\title{Vom Kaffee-Problem}
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\author{Nis Börge Wechselberg \and Christoph Daniel Schulze}
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\date{September 2014}
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\begin{document}
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\maketitle
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%% Abstract
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\begin{abstract}
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Das n-Kaffee-Problem
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beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
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in einer Gruppe von \(n\in\) Personen.
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Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
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In dieser Arbeit definieren wir das Problem
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und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel,
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Änderungen in den Verhältnissen
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möglichst aufwandsminimiert notieren zu können.
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\end{abstract}
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%% Einleitung
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\section{Einleitung}
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\label{sec:einleitung}
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Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb
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wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
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also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
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aufrecht erhalten.
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Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
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welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
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Heißer, schwarzer Kaffee
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kann also als die Grundlage
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der wissenschaftlichen Arbeit angesehen werden.\footnote{%
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"`Wenn du da Milch reintust ist er doch nicht mehr schwarz, Junge!"' -- Captain Jean-Luc Picard}
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Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen
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im durch ausufernde Denkprozesse gekennzeichneten Alltag herbeizuführen,
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ist das gemeinsame, rudelhafte Beschaffen von heißem Kaffee üblich.
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Dabei kommt es immer wieder vor,
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dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
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Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
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in der optimistischen Hoffnung,
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den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen.
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Während die Schuldenverhältnisse
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bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
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ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
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Zunahme bei größer werdenden Gruppen
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ist auch ein von den \emph{Weight Watchers} behandeltes Problem,
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ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}
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In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
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definieren wir zunächst in \autoref{sec:kaffeeproblem}
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das \(n\)-Kaffee-Problem,
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welches die Frage der Schuldenverhältnisse
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zwischen zwei Mitgliedern
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einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
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Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
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bevor wir in \autoref{sec:visualisierung}
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einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
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Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung}
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und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.
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\paragraph{Verwandte Arbeiten}
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Bla.
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\todo[inline]{Verwandte Arbeiten recherchieren.}
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%% Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem
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\section{Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem}
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\label{sec:kaffeeproblem}
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Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
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müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
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welche das Problem überhaupt tangiert.
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\begin{defi}[Kaffeekränzchen]
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Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\)
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für \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
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bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen}
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oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.
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\end{defi}
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Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
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ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
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Wichtig ist lediglich,
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dass die beteiligten Personen
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sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
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Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch
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eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb
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der Gruppe zu dokumentieren.
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\begin{defi}[Kaffeekasse]
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Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und
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\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
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Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch
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\[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
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Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei
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als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und
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getrunkenen Kaffees.
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\end{defi}
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Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich
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\begin{align*}
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\Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
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\Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
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\end{align*}
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Mit diesen Definitionen können wir nun das
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allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
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\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
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foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren}
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\end{defi}
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\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
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Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
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\begin{description}
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\item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
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\item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
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\item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
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\end{description}
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\begin{figure}[hbtp]
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\centering
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\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
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\caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
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\end{figure}
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\end{beis}
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\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
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\todo{Formel korrigieren}
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Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
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\[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) =
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\left\{ \begin{array}{cc}
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(x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\
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(x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
|
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\end{array} \right.
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\]
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Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
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\end{defi}
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\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
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\todo{Text ergänzen}
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\begin{figure}[hbtp]
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\centering
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\includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
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|
\caption{}
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\end{figure}
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\end{beis}
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|
%% Visualisierung des Kaffeeproblems
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\section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
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\label{sec:visualisierung}
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|
%% Zusammenfassung
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\section{Zusammenfassung}
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\label{sec:zusammenfassung}
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Zusammenfassung des Papers.
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Mögliche Future Work:
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\begin{itemize}
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\item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren
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\end{itemize}
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\end{document}
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