Kaffeekasse hinzugefügt

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Nis Boerge Wechselberg 2014-09-13 20:59:44 +02:00
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@ -1,6 +1,7 @@
\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl} \documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[german]{babel} \usepackage[german]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath} \usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts} \usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb} \usepackage{amssymb}
@ -14,6 +15,7 @@
%% Tolle Definitionen %% Tolle Definitionen
\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}} \newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newtheorem{defi}{Definition} \newtheorem{defi}{Definition}
\newtheorem*{beis}{Beispiel} \newtheorem*{beis}{Beispiel}
@ -117,11 +119,32 @@ Wichtig ist lediglich,
dass die beteiligten Personen dass die beteiligten Personen
sich gegenseitig Kaffee ausgeben. sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch
eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb
der Gruppe zu dokumentieren.
\begin{defi}[Kaffeekasse]
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch
\[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei
als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und
getrunkenen Kaffees.
\end{defi}
Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich
\begin{align*}
\Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
\Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
\end{align*}
Mit diesen Definitionen können wir nun das
allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren}
\end{defi}
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem] \begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt: Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt: