Kaffeekasse hinzugefügt

This commit is contained in:
Nis Boerge Wechselberg 2014-09-13 20:59:44 +02:00
parent 1b8c2bc7a9
commit 9ec1759e74
2 changed files with 57 additions and 34 deletions

BIN
main.pdf

Binary file not shown.

View file

@ -1,6 +1,7 @@
\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl} \documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[german]{babel} \usepackage[german]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath} \usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts} \usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb} \usepackage{amssymb}
@ -14,6 +15,7 @@
%% Tolle Definitionen %% Tolle Definitionen
\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}} \newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newtheorem{defi}{Definition} \newtheorem{defi}{Definition}
\newtheorem*{beis}{Beispiel} \newtheorem*{beis}{Beispiel}
@ -117,13 +119,34 @@ Wichtig ist lediglich,
dass die beteiligten Personen dass die beteiligten Personen
sich gegenseitig Kaffee ausgeben. sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch
eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb
der Gruppe zu dokumentieren.
\begin{defi}[Kaffeekasse]
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch
\[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei
als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und
getrunkenen Kaffees.
\end{defi}
Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich
\begin{align*}
\Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
\Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
\end{align*}
Mit diesen Definitionen können wir nun das
allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren}
\end{defi}
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt: Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
\begin{description} \begin{description}
\item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden. \item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
@ -136,10 +159,10 @@ sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem} \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
\caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee} \caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
\end{figure} \end{figure}
\end{beis} \end{beis}
\begin{defi}[n-Kaffee-Problem] \begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
\todo{Formel korrigieren} \todo{Formel korrigieren}
Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
\[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) = \[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) =
\left\{ \begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{cc}
@ -148,16 +171,16 @@ sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
\end{array} \right. \end{array} \right.
\] \]
Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}. Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
\end{defi} \end{defi}
\begin{beis}[3-Kaffee-Problem] \begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
\todo{Text ergänzen} \todo{Text ergänzen}
\begin{figure}[hbtp] \begin{figure}[hbtp]
\centering \centering
\includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem} \includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
\caption{} \caption{}
\end{figure} \end{figure}
\end{beis} \end{beis}