Kaffeekasse hinzugefügt

main.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[german]{babel}
+\usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{amsmath}
 \usepackage{amsfonts}
 \usepackage{amssymb}
@@ -14,6 +15,7 @@
 %% Tolle Definitionen
 
 \newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
 
 \newtheorem{defi}{Definition}
 \newtheorem*{beis}{Beispiel}
@@ -117,13 +119,34 @@ Wichtig ist lediglich,
 dass die beteiligten Personen
 sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
 
+Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch
+eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb
+der Gruppe zu dokumentieren.
 
+\begin{defi}[Kaffeekasse]
+  Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und 
+  \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
+  Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch
+  \[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
+  Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei
+  als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und
+  getrunkenen Kaffees.
+\end{defi}
 
+Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich
+\begin{align*}
+  \Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
+  \Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
+\end{align*}
 
+Mit diesen Definitionen können wir nun das 
+allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
 
+\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
+  foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren}
+\end{defi}
 
-
-  \begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
+\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
   Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
   \begin{description}
     \item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
@@ -136,10 +159,10 @@ sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
     \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
     \caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
   \end{figure}
-  \end{beis}
+\end{beis}
 
-  \begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
-	\todo{Formel korrigieren}
+\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
+\todo{Formel korrigieren}
   Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
   \[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) = 
     \left\{ \begin{array}{cc}
@@ -148,16 +171,16 @@ sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
     \end{array} \right.
   \]
   Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
-  \end{defi}
+\end{defi}
 
-  \begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
-  \todo{Text ergänzen}
+\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
+\todo{Text ergänzen}
 	\begin{figure}[hbtp]
     \centering
     \includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
     \caption{}
   \end{figure}
-  \end{beis}
+\end{beis}