Kaffeekasse hinzugefügt

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Nis Boerge Wechselberg 2014-09-13 20:59:44 +02:00
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@ -1,6 +1,7 @@
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
@ -14,6 +15,7 @@
%% Tolle Definitionen
\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
\newtheorem{defi}{Definition}
\newtheorem*{beis}{Beispiel}
@ -117,48 +119,69 @@ Wichtig ist lediglich,
dass die beteiligten Personen
sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch
eine Möglichkeit die Kaffeeschulden innerhalb
der Gruppe zu dokumentieren.
\begin{defi}[Kaffeekasse]
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\) und
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Als \(K\)-Kaffeekasse definieren wir das Tupel \(k\in\integers^n\) durch
\[ k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \text{ mit } \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
Die Komponenten \(\Delta_i\) berechnen sich hierbei
als die Differenz der von \(p_i\) bezahlten und
getrunkenen Kaffees.
\end{defi}
Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich
\begin{align*}
\Delta_i < 0 &: p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
\Delta_i > 0 &: p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
\end{align*}
Mit diesen Definitionen können wir nun das
allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem formulieren.
\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
foo \todo[inline]{allgemeines Problem formulieren}
\end{defi}
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
\begin{description}
\item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
\item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
\item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
\end{description}
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
Sind nur 2 Personen \( p_0 \) und \( p_1 \) an der Kaffeerunde beteiligt, lässt sich das 2-Kaffee-Problem als \( x \in \mathbb{Z} \) beschreiben. Hierbei gilt:
\begin{description}
\item[x = 0] Das Verhältnis ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.
\item[x $>$ 0] \( p_1 \) schuldet \( p_0 \) noch x Kaffees.
\item[x $<$ 0] \( p_0 \) schuldet \( p_1 \) noch x Kaffees.
\end{description}
\begin{figure}[hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
\caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
\end{figure}
\end{beis}
\begin{figure}[hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
\caption{Beispiel für das 2-Körper-Problem, $p_1$ schuldet $p_0$ noch 2 Kaffee}
\end{figure}
\end{beis}
\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
\todo{Formel korrigieren}
Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
\[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) =
\left\{ \begin{array}{cc}
(x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\
(x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
\end{array} \right.
\]
Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
\end{defi}
\begin{defi}[n-Kaffee-Problem]
\todo{Formel korrigieren}
Das allgemeine \textbf{n-Kaffee-Problem} zu einer Kafferunde K mit n Personen lässt sich definieren als \( x \in \mathbb{Z}^{n-1} \), also \( x = (x_0, \ldots, x_{n-1}) \). Zu diesem Tupel werden die Kaffeefunktion \( k_{i,j} : \mathbb{Z}^{n-1} \rightarrow \mathbb{Z}^{n-1} \) definiert durch
\[ k_{i,j}(x_0,\ldots,x_{n-1}) =
\left\{ \begin{array}{cc}
(x_0,\ldots,x_{i-1},x_i +1, x_{i+1},\ldots,x_{n-1}) & $, falls $ i < n \\
(x_0-1, \ldots, x_{n-1}-1) & $, falls $ i = n
\end{array} \right.
\]
Diese Kaffeefunktion \( k_i \) gibt die Veränderung der Guthaben-Schulden-Verhältnisse innerhalb der Kaffeerunde an, wenn \( p_i \) ein Kaffee \textbf{ausgegeben wird}.
\end{defi}
\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
\todo{Text ergänzen}
\begin{figure}[hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
\caption{}
\end{figure}
\end{beis}
\begin{beis}[3-Kaffee-Problem]
\todo{Text ergänzen}
\begin{figure}[hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{3KaffeeProblem}
\caption{}
\end{figure}
\end{beis}
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