Kleine Korrekturen.

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Christoph Daniel Schulze 2014-11-29 17:05:46 +01:00
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commit d8de0ee2c8

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@ -33,6 +33,8 @@
\newcommand{\beisautorefname}{Beispiel}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Dokumentinformationen
@ -119,7 +121,7 @@ Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
die das Problem überhaupt interessiert.\footnote{%
Hierzu gehört offenbar der Leser,
sonst würde er diesen Stuss ja nicht lesen}
sonst würde er diese Ausarbeitung sicher nicht lesen.}
\begin{defi}[Kaffeekränzchen]
\label{def:kaffeekraenzchen}
@ -210,9 +212,10 @@ Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
\label{beis:2-kaffee-problem}
Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und
\(k\) eine K-Kaffeekasse.
Nehmen wir an, dass bisher \(p_1\) zweimal
einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat,
dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
Nehmen wir an,
dass bisher \(p_1\) zweimal
einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat.
Dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
Es lässt sich leicht erkennen,
dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
@ -237,7 +240,7 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
und \(k\) eine Kaffeekasse
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
genügen \(n-1\) Komponenten von \(k\).
\end{satz}
\begin{proof}
Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
@ -258,24 +261,27 @@ Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
\subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
\label{sub:kaffeeparadoxon}
Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
Mit der in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse gibt an,
wie viele Kaffees eine Person insgesamt noch bekommt oder schuldet.
Im Allgemeinen lässt sich aber nicht entscheiden,
von wem sie noch Kaffees bekommt
oder wem sie Kaffees schuldet.
Die Kaffeekasse ist also eine \emph{bilanzierende Kaffeekasse}.
Alternativ könnte auch eine explizite Kaffeekasse geführt werden,
in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
\label{def:explizitekaffeekasse}
Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix
\( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt:
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse}
ist eine Matrix \( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) mit:
\begin{enumerate}
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
\item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
\end{enumerate}
Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{i, j}$ wie folgt:
\begin{align*}
\delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
\delta_{i,j} < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt von } p_j \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
\delta_{i,j} = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeebilanz zwischen }p_i\text{ und }p_j\text{ ist ausgeglichen.} \\
\delta_{i,j} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
\end{align*}
@ -308,9 +314,10 @@ analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\).
\end{defi}
\begin{satz}
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende,
\begin{satz}[Bilanzierender Kaffeekassenexplikationssatz]
Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffee\-kränzchen
und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
Dann existiert eine entsprechende
bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
\end{satz}
\begin{proof}