2014-09-11 22:07:17 +02:00
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\documentclass[10pt,a4paper,oneside]{scrartcl}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[german]{babel}
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2014-09-13 20:59:44 +02:00
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2014-09-11 22:07:17 +02:00
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\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{amsthm}
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2014-09-11 22:12:36 +02:00
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\usepackage{todonotes}
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%% Tolle Definitionen
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\newcommand{\naturals}{\mathbb{N}}
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2014-09-13 20:59:44 +02:00
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\newcommand{\integers}{\mathbb{Z}}
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
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2014-09-11 22:07:17 +02:00
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\newtheorem{defi}{Definition}
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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\newcommand{\defiautorefname}{Definition}
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2014-09-14 18:47:01 +02:00
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\newtheorem{koro}{Korollar}
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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\newcommand{\koroautorefname}{Korollar}
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2014-09-14 18:47:01 +02:00
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\newtheorem{lemma}{Lemma}
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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\newcommand{\lemmaautorefname}{Lemma}
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2014-09-14 18:47:01 +02:00
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\newtheorem{satz}{Satz}
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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\newcommand{\satzautorefname}{Satz}
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2014-09-17 15:36:03 +02:00
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\newtheorem{beob}{Beobachtung}
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\newcommand{\beobautorefname}{Beobachtung}
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2014-09-11 22:07:17 +02:00
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\newtheorem*{beis}{Beispiel}
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
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%% Dokumentinformationen
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\title{Vom Kaffee-Problem}
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2014-09-14 16:24:05 +02:00
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|
\author{Christoph Daniel Schulze \and Nis Börge Wechselberg}
|
2014-09-12 14:48:25 +02:00
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\date{September 2014}
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2014-09-11 22:07:17 +02:00
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|
\begin{document}
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
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|
\maketitle
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%% Abstract
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\begin{abstract}
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Das n-Kaffee-Problem
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beschreibt die Guthaben-Schulden-Verhältnisse
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in einer Gruppe von \(n\in\) Personen.
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Die Verhältnisse werden hierbei in ausgegebenen Kaffees notiert.
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In dieser Arbeit definieren wir das Problem
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und betrachten Visualisierungen mit dem Ziel,
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Änderungen in den Verhältnissen
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möglichst aufwandsminimiert notieren zu können.
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\end{abstract}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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|
%% Einleitung
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\section{Einleitung}
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\label{sec:einleitung}
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Der normale universitäre Lehrstuhlbetrieb
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wird durch Studenten, Doktoranden und Professoren,
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also allgemein durch \emph{Wissenschaftler},
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aufrecht erhalten.
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Frei nach Paul Erdős sind Wissenschaftler Geräte,
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|
welche Kaffee in Theoreme verstoffwechseln.
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Heißer, schwarzer Kaffee
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kann also als die Grundlage
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der wissenschaftlichen Arbeit angesehen werden.\footnote{%
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"`Wenn du da Milch reintust ist er doch nicht mehr schwarz, Junge!"' -- Captain Jean-Luc Picard}
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Um die immer wieder notwendigen und erholsamen Unterbrechungen
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|
im durch ausufernde Denkprozesse gekennzeichneten Alltag herbeizuführen,
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|
ist das gemeinsame, rudelhafte Beschaffen von heißem Kaffee üblich.
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|
Dabei kommt es immer wieder vor,
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|
dass einer der Wissenschaftler kein Geld dabei hat.
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|
Ein anderer Wissenschaftler gibt ihm dann üblicherweise einen Kaffee aus
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|
in der optimistischen Hoffnung,
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|
den Gefallen irgendwann zurückgezahlt zu bekommen.
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|
|
Während die Schuldenverhältnisse
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bei zwei Personen noch einfach zu handhaben sind,
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|
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|
ändert sich das bei größer werdenden Gruppen zunehmend.\footnote{%
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|
|
Zunahme bei größer werdenden Gruppen
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|
ist auch ein von den \emph{Weight Watchers} behandeltes Problem,
|
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|
ist für uns aber nicht weiter von Relevanz.}
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|
In dieser durch die Einleitung eingeleiteten Arbeit
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definieren wir zunächst in \autoref{sec:kaffeeproblem}
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das \(n\)-Kaffee-Problem,
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welches die Frage der Schuldenverhältnisse
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|
zwischen zwei Mitgliedern
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einer \(n\) Personen großen Gruppe stellt.
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Wir entwickeln zunächst eine analytische Lösung
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|
bevor wir in \autoref{sec:visualisierung}
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einfache Visualisierungen für \(n \leq 3\) einführen.
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Wir schließen die Arbeit mit dem Schluss in \autoref{sec:zusammenfassung}
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|
und liefern Ansatzpunkte für zukünftige Überlegungen.
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|
\paragraph{Verwandte Arbeiten}
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|
Bla.
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\todo[inline]{Verwandte Arbeiten recherchieren.}
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|
%% Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem
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\section{Kaffeekränzchen und das Kaffeeproblem}
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\label{sec:kaffeeproblem}
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|
Um das Kaffee-Problem betrachten zu können,
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|
müssen wir zunächst eine geeignete Menge von Personen definieren,
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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|
die das Problem überhaupt interessiert.
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
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|
\begin{defi}[Kaffeekränzchen]
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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|
\label{def:kaffeekraenzchen}
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
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|
Eine Menge \(K=\{p_1,\ldots,p_n\}\)
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|
|
für \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
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|
bezeichnen wir als \emph{Kaffeekränzchen über \(n\) Personen}
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
oder kurz \emph{\(n\)-Kaffeekränzchen}.\footnote{%
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|
|
|
Man könnte in der Definition des Kaffeekränzchens sicherlich auch \(n=1\) zulassen,
|
|
|
|
aber das ist uns zu traurig.}
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
|
|
|
\end{defi}
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|
|
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|
Bei einem Kaffekränzchen ist für diese Arbeit unerheblich,
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|
ob lediglich Kaffee oder auch Kuchen serviert wird.
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|
Wichtig ist lediglich,
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|
dass die beteiligten Personen
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sich gegenseitig Kaffee ausgeben.
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2014-09-14 16:24:05 +02:00
|
|
|
Zusätzlich zu dem Kaffeekränzchen benötigen wir noch eine Möglichkeit,
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|
die Kaffeeschulden innerhalb der Gruppe zu dokumentieren.
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2014-09-13 20:59:44 +02:00
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|
|
\begin{defi}[Kaffeekasse]
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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|
\label{def:kaffeekasse}
|
2014-09-14 16:24:05 +02:00
|
|
|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
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|
|
|
und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
|
|
|
|
Eine \emph{\(K\)-Kaffeekasse} ist ein Tupel \(k\in\integers^n\),
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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|
|
\(k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n)\),
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2014-09-14 16:24:05 +02:00
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|
für das gilt:
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\[ \sum_{i=1}^n \Delta_i = 0. \]
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Für \(1 \leq i \leq n\)
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|
bezeichnet \(\Delta_i\) die Differenz
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der von \(p_i\) getrunkenen und ausgegebenen Kaffees.
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2014-09-13 20:59:44 +02:00
|
|
|
\end{defi}
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|
|
|
|
2014-09-14 16:24:05 +02:00
|
|
|
Aus der Definition der \(\Delta_i\) ergibt sich:
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2014-09-13 20:59:44 +02:00
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\begin{align*}
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
\Delta_i < 0 &: \enspace p_i \text{ bekommt noch } |\Delta_i| \text{ Kaffees} \\
|
|
|
|
\Delta_i > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet noch } \Delta_i \text{ Kaffees}
|
2014-09-13 20:59:44 +02:00
|
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
|
2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
Gibt eine Person einer anderen nun einen Kaffee aus,
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|
müssen wir die Kaffeekasse entsprechend weiterentwickeln.
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\begin{defi}[Kaffeekassentransition]
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|
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|
\label{def:kaffeekassentransition}
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|
|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\),
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|
|
|
\(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen,
|
|
|
|
\(k\) eine \(K\)-Kaffeekasse
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|
|
|
sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
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|
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|
dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
|
|
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|
Die Kaffeekassentransition liefert zu \(k\)
|
|
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eine neue Kaffeekasse \(k' = (\Delta_1',\ldots,\Delta_n')\) mit
|
|
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\[ \Delta_x' = \left\{
|
|
|
|
\begin{array}{ll}
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|
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|
\Delta_x - 1 & \text{, falls } x=i \\
|
|
|
|
\Delta_x + 1 & \text{, falls } x=j \\
|
|
|
|
\Delta_x & \text{, sonst}
|
|
|
|
\end{array} \right.
|
|
|
|
\]
|
|
|
|
für \(x \in {[n]}\).
|
|
|
|
\end{defi}
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|
Zieht nun eine Teilmenge des Kaffeekränzchens los,
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|
um sich gegenseitig Kaffess auszugeben,
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ist immer wieder die Frage zu klären,
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|
wer gerade mit Bezahlen an der Reihe ist.
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|
|
Das allgemeine \(n\)-Kaffee-Problem
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|
formalisiert exakt diese Fragestellung.
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
|
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2014-09-13 20:59:44 +02:00
|
|
|
\begin{defi}[\(n\)-Kaffee-Problem]
|
2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
\label{def:kaffee_problem}
|
2014-09-14 16:24:05 +02:00
|
|
|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
|
|
|
|
und \(k\) eine Kaffeekasse
|
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|
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
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|
Gegeben zwei Personen \(p_i,p_j \in K\),
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|
die einen Kaffee zusammen trinken wollen.
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|
Das \(n\)-Kaffee-Problem besteht darin,
|
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zu entscheiden,
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|
ob \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgeben muss
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|
oder umgekehrt.
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2014-09-13 20:59:44 +02:00
|
|
|
\end{defi}
|
|
|
|
|
2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
Betrachten wir das Beispiel \(n=2\).
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2014-09-14 18:47:01 +02:00
|
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|
|
2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
\begin{beis}[2-Kaffee-Problem]
|
2014-09-16 19:12:00 +02:00
|
|
|
Sei \(K\) ein 2-Kaffeekränzchen und
|
|
|
|
\(k\) eine K-Kaffeekasse.
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|
Nehmen wir an, dass bisher \(p_1\) zweimal
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einen Kaffee für \(p_2\) bezahlt hat,
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dann ergibt sich der Zustand \(k = (-2,2)\).
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|
Es lässt sich leicht erkennen,
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dass stets $\Delta_1 = - \Delta_2$ gelten muss.
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Somit können wir ohne Informationsverlust die
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|
zweite Komponente der Kaffekasse vernachlässigen
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|
und nur noch $\Delta_1$ betrachten. Hierbei gilt:
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
\begin{align*}
|
2014-09-16 19:12:00 +02:00
|
|
|
\Delta_1 < 0 &: \enspace p_2 \text{ schuldet } p_1 \text{ noch } |\Delta_1| \text{ Kaffees.} \\
|
|
|
|
\Delta_1 = 0 &: \enspace \text{Die Kaffeekasse ist ausgeglichen, niemand hat Kaffeeschulden.} \\
|
|
|
|
\Delta_1 > 0 &: \enspace p_1 \text{ schuldet } p_2 \text{ noch } \Delta_1 \text{ Kaffees.}
|
2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
\end{beis}
|
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|
Die im Beispiel angedeutete Vereinfachungsmöglichkeit
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funktioniert nicht nur für \(n=2\),
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sondern für beliebige \(n\in\naturals_{\geq 2}\).
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|
Das ist die Aussage des folgenden Satzes.
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|
\begin{satz}[Kaffeesatz]
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\label{satz:kaffeesatz}
|
|
|
|
Sei \(n\in\naturals_{\geq 2}\)
|
|
|
|
und \(k\) eine Kaffeekasse
|
|
|
|
über dem \(n\)-Kaffeekränzchen \(K\).
|
2014-09-14 18:47:01 +02:00
|
|
|
Um das \(n\)-Kaffee-Problem zu lösen
|
|
|
|
genügt eine \((n-1)\)-Kaffeekasse.
|
|
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
\begin{proof}
|
2014-09-15 00:22:49 +02:00
|
|
|
Nach \autoref{def:kaffeekasse} gilt:
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
\begin{array}{lll}
|
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|
& \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} + \Delta_n &= 0 \\
|
|
|
|
\Leftrightarrow & \Delta_1 + \ldots + \Delta_{n-1} &= {-\Delta_n}
|
|
|
|
\end{array}
|
|
|
|
\]
|
|
|
|
Das Kaffeedelta \(\Delta_n\)
|
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|
lässt sich also aus den übrigen Kaffeedeltas direkt berechnen
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und braucht daher nicht explizit in der Kaffeekasse geführt zu werden.
|
2014-09-14 18:47:01 +02:00
|
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
2014-09-16 19:12:00 +02:00
|
|
|
%% Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon
|
|
|
|
\subsection{Explizite Kaffeekassen und das Kaffee-Paradoxon}
|
2014-09-14 18:47:01 +02:00
|
|
|
\label{sub:kaffeeparadoxon}
|
|
|
|
|
2014-09-16 19:12:00 +02:00
|
|
|
Die in \autoref{def:kaffeekasse} definierte Kaffeekasse
|
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|
modelliert einen gemeinsamen Kaffeepool innerhalb des Kaffeekränzchens.
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|
Diese Kaffeekasse kann auch als \emph{bilanzierende Kaffeekasse} bezeichnet werden.
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2014-09-17 15:36:03 +02:00
|
|
|
Als alternative Notation könnte auch eine explizite Kaffeekasse vorgehalten werden,
|
2014-09-16 19:12:00 +02:00
|
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|
in der alle Kaffeeschulden innerhalb des Kaffeekränzchens einzeln ausgewiesen werden.
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|
\begin{defi}[Explizite Kaffeekasse]
|
2014-09-17 15:36:03 +02:00
|
|
|
\label{def:explizitekaffeekasse}
|
2014-09-16 19:12:00 +02:00
|
|
|
Sei \(n \in \naturals_{\geq2}\) und \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen.
|
2014-09-17 15:36:03 +02:00
|
|
|
Eine \emph{explizite K-Kaffeekasse} ist die Matrix
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\( \kappa \in \naturals^{n\times n} \) wobei gilt:
|
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|
\begin{enumerate}
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|
|
\item \( \delta_{i,i} = 0 \) für alle \( i \in \naturals_{\leq n} \)
|
|
|
|
\item \( \delta_{i,j} = -\delta_{j,i} \) für alle \( i,j \in \naturals_{\leq n} \)
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
2014-09-16 19:12:00 +02:00
|
|
|
Hierbei verhalten sich die einzelnen Kaffeedeltas $\delta_{ij}$ wie folgt:
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|
|
\begin{align*}
|
|
|
|
\delta_{ij} < 0 &: \enspace p_j \text{ schuldet } p_i \text{ noch } |\delta_{ij}| \text{ Kaffees.} \\
|
|
|
|
\delta_{ij} = 0 &: \enspace \text{Niemand hat Kaffeeschulden.} \\
|
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\delta_{ij} > 0 &: \enspace p_i \text{ schuldet } p_j \text{ noch } \delta_{ij} \text{ Kaffees.}
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\end{align*}
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\end{defi}
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2014-09-17 15:36:03 +02:00
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Für die Verwaltung der expliziten Kaffeekasse definieren wir die Transistion
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analog zu \autoref{def:kaffeekassentransition}.
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2014-09-14 18:47:01 +02:00
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2014-09-17 15:36:03 +02:00
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\begin{defi}[Explizite Kaffeekassentransition]
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\label{def:explizitekaffeekassentransition}
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Sei \(n \in \naturals_{\geq 2}\),
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\(K\) ein Kaffeekränzchen über \(n\),
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\(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse
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sowie \(i \neq j \in {[n]}\) so,
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dass \(p_i\) \(p_j\) einen Kaffee ausgibt.
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Die explizite Kaffeekassentransition liefert zu \(\kappa\)
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eine neue explizite Kaffeekasse \( \kappa' \in \integers^{n\times n} \) mit
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\[ \delta_{k,l}' = \left\{
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\begin{array}{ll}
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\delta_{k,l} - 1 & \text{, falls } k=i \text{ und } l=j \\
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\delta_{k,l} + 1 & \text{, falls } k=j \text{ und } l=i \\
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\delta_{k,l} & \text{, sonst}
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\end{array} \right.
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\]
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für \(k,l \in \naturals_{\leq n}\).
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\end{defi}
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\begin{satz}
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Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
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und \( \kappa \) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse. Dann existiert eine entsprechende,
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bilanzierende \(K\)-Kaffeekasse.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei \(n \in \naturals\), \(K\) ein \(n\)-Kaffeekränzchen
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und \(\kappa\) eine explizite \(K\)-Kaffeekasse.
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Dann existieren laut \autoref{def:explizitekaffeekasse} \(\delta_{i,j} \in \integers\)
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für alle \(i,j \in \naturals_{\leq n}\) als Einträge in \(\kappa\). Setze nun
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\[ \Delta_i = \sum_{l=1}^{n} \delta_{i,l} . \]
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Dann ergibt sich die bilanzierende Kaffeekasse als
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\( k = (\Delta_1,\ldots,\Delta_n) \).
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\end{proof}
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\begin{beob}[Kaffeeparadoxon]
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\label{beob:kaffeparadoxon}
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Betrachten wir das 3-Kaffeekränzchen \( K = {p_1, p_2, p_3} \)
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und ihre explizite Kaffeekasse \(\kappa\). Bisher hat \(p_2\)
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jeweils einen Kaffee für \(p_1\) und \(p_3\) bezahlt.
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Weiter hat \(p_3\) \(p_1\) einen Kaffee ausgegeben.
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Somit ergibt sich
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\[\kappa = \left(
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\begin{array}{rrr}
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0 & 1 & 1 \\
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-1 & 0 & -1 \\
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-1 & 1 & 0
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\end{array} \right).
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\]
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Wie aus \autoref{def:explizitekaffeekassentransition} zu erkennen ist,
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werden stets zwei symmetrische Komponenten der Matrix modifiziert, wenn
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ein Kaffee ausgegeben wird. Somit müssen mindestens 3 Kaffees getrunken werden,
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damit die Kaffeekasse wieder im schuldenfreien Zustand ist.
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Bilden wir zu \(\kappa\) nun die bilanzierende Kaffeekasse \(k\),
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so ergibt sich \(k = (2,-2,0) \).
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Hierbei ist zu erkennen, das nur 2 Kaffees benötigt werden, um die Kaffeeschulden
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auszugleichen.
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Dieses Phänomen, welches wir als \emph{Kaffeeparadoxon} bezeichnen, lässt sich
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in dem Auftreten von \emph{transitiven Kaffeeschulden} begründen.
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Die bilanzierende Kaffeekasse vermeidet derartige Kaffeeschulden direkt,
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während sie bei der expliziten Kaffeekasse manuell aufgelöst werden müssen.
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\end{beob}
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2014-09-14 18:47:01 +02:00
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%% Visualisierung des Kaffeeproblems
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\section{Visualisierung des Kaffeeproblems}
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\label{sec:visualisierung}
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2014-09-16 19:12:00 +02:00
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% \begin{figure}
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% \centering
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% \includegraphics[scale=1]{2KaffeeProblem}
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% \caption{%
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% Visualisierung des \(2\)-Kaffee-Problems.
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% In diesem Fall schuldet \(p_0\) \(p_1\)
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% genau \(2\) Kaffees.
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% }
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% \label{fig:2_kaffee_problem}
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% \end{figure}
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2014-09-13 20:59:44 +02:00
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%% Zusammenfassung
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\section{Zusammenfassung}
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\label{sec:zusammenfassung}
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Zusammenfassung des Papers.
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Mögliche Future Work:
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\begin{itemize}
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\item Kaffeeproblem für \(n>3\) visualisieren
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2014-09-15 00:22:49 +02:00
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\item Wir haben noch keinen Beweis dafür, dass die Visualisierung in einem Dreieck unmöglich oder zumindest blöd ist.
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2014-09-12 14:48:25 +02:00
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\end{itemize}
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2014-09-11 22:07:17 +02:00
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\end{document}
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